Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede pra gente resolver o problema de valor inicial de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
,
,
. Vamos usar o método geral de solução, que envolve achar a solução complementar (homogênea) e depois uma particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
A parte homogênea vem da equação característica associada
. Resolvendo, temos
. Logo a solução complementar é
.
Passo 3
Para a particular, como o termo forçante é
, chutamos
. Calculamos as derivadas:
Substituindo em
Passo 4
Resolvendo aquele sistema achamos
Então
Passo 5
Agora impomos as condições iniciais. Em
:
Passo 6
Reunindo tudo, a solução geral que satisfaz as condições iniciais é a soma de
e
.