Resolva o problema de valor inicial:
ly^prime prime+2 y^prime+2 y=sin (alpha t) y(0)=0 ; y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede pra gente resolver o problema de valor inicial de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes: y''+2y'+2y=sin(alpha t), y(0)=0, y'(0)=0. Vamos usar o método geral de solução, que envolve achar a solução complementar (homogênea) e depois uma particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

A parte homogênea vem da equação característica associada r^2+2r+2=0. Resolvendo, temos r=-1pm i. Logo a solução complementar é yc(t)=e^-t(C1cos t + C2sin t).

Passo 3

Para a particular, como o termo forçante é sin(alpha t), chutamos yp(t)=Acos(alpha t)+Bsin(alpha t). Calculamos as derivadas:
yp'=-Aalphasin(alpha t)+Balphacos(alpha t),
yp''=-Aalpha^2cos(alpha t)-Balpha^2sin(alpha t)
Substituindo em y''+2y'+2y=sin(alpha t) e agrupando os coeficientes de cos(alpha t) e sin(alpha t) dá o sistema
( -Aalpha^2+2A+2Balpha)=0,
( -Balpha^2+2B-2Aalpha)=1

Passo 4

Resolvendo aquele sistema achamos
A=-2alphaalpha^4+4, B=2-alpha^2alpha^4+4
Então
yp(t)=-2alphaalpha^4+4cos(alpha t)+2-alpha^2alpha^4+4sin(alpha t)

Passo 5

Agora impomos as condições iniciais. Em t=0:
y(0)=C1-2alphaalpha^4+4=0implies C1=2alphaalpha^4+4,
y'(0)=-C1+C2+ Balpha=0implies C2=alpha^3alpha^4+4

Passo 6

Reunindo tudo, a solução geral que satisfaz as condições iniciais é a soma de yc e yp.

Resposta

y(t)=e^-tl(2alphaalpha^4+4cos t+alpha^3alpha^4+4sin tr)-2alphaalpha^4+4cos(alpha t)+2-alpha^2alpha^4+4sin(alpha t)

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