Dadas duas retas reversas, prove que o plano paralelo a uma delas, conduzida pela outra, é único.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas retas reversas r e s no espaço, existe exatamente um plano que seja paralelo a r e que contenha s. Estamos em geometria euclidiana em R^3 e vamos usar noções de definição de plano por uma reta e um vetor paralelo, além de propriedades de interseção de planos.

Passo 2

Para garantir a existência, escolhemos um ponto A qualquer de s. Sejam u um vetor diretor de s e v um vetor diretor de r. Definimos o plano P por
$$
P = {A + \alpha,\vec{u} + \beta,\vec{v} : \alpha,\beta \in \mathbb{R}}\n$$
Nesse plano P = A + alpha,u + beta,v : alpha,beta in Rn temos duas direções independentes: P (que gera a reta u) e s (paralela a v). Logo, r contém P e é paralelo a s, provando a existência de ao menos um plano com essas propriedades.

Passo 3

Agora vamos à unicidade. Suponha que existam dois planos distintos P e Q tais que cada um contenha s e seja paralelo a r. Então ambos contêm a reta s, de modo que
P cap Q supseteq s
Como planos distintos que se cruzam formam exatamente a reta comum, temos
P cap Q = s
Por outro lado, se r é paralelo a P e a Q, então r é paralelo a qualquer reta dentro de cada plano. Em particular, seria paralelo à reta de interseção, isto é, r paral<=l (P cap Q) = s. Mas isso contradiz o fato de r e s serem reversas (elas não podem ser paralelas nem concorrentes).
A contradição mostra que não podem existir dois planos distintos com as propriedades exigidas. Logo, o plano paralelo a uma das retas e que leva a outra é único.

Resposta

Existe exatamente um e somente um plano paralelo a uma das retas reversas e que contenha a outra.

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