Dadas duas retas reversas, prove que o plano paralelo a uma delas, conduzida pela outra, é único.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas duas retas reversas r e s no espaço, existe exatamente um plano que seja paralelo a r e que contenha s. Estamos em geometria euclidiana em
e vamos usar noções de definição de plano por uma reta e um vetor paralelo, além de propriedades de interseção de planos.
Passo 2
Para garantir a existência, escolhemos um ponto
qualquer de
. Sejam
um vetor diretor de
e
um vetor diretor de
. Definimos o plano
por
$$
P = {A + \alpha,\vec{u} + \beta,\vec{v} : \alpha,\beta \in \mathbb{R}}\n$$
Nesse plano temos duas direções independentes:
(que gera a reta
) e
(paralela a
). Logo,
contém
e é paralelo a
, provando a existência de ao menos um plano com essas propriedades.
Nesse plano
Passo 3
Agora vamos à unicidade. Suponha que existam dois planos distintos
e
tais que cada um contenha
e seja paralelo a
. Então ambos contêm a reta
, de modo que
Como planos distintos que se cruzam formam exatamente a reta comum, temos
Por outro lado, se
é paralelo a
e a
, então
é paralelo a qualquer reta dentro de cada plano. Em particular, seria paralelo à reta de interseção, isto é,
. Mas isso contradiz o fato de
e
serem reversas (elas não podem ser paralelas nem concorrentes).
A contradição mostra que não podem existir dois planos distintos com as propriedades exigidas. Logo, o plano paralelo a uma das retas e que leva a outra é único.
A contradição mostra que não podem existir dois planos distintos com as propriedades exigidas. Logo, o plano paralelo a uma das retas e que leva a outra é único.
Resposta
Existe exatamente um e somente um plano paralelo a uma das retas reversas e que contenha a outra.