Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) Três pontos distintos determinam um plano.
(b) Um ponto e uma reta determinam um único plano.
(c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.
(d) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos.
(e) Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos.

Passo 1

O que o exercício pede: classificar cada uma das cinco afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F).
As afirmações a analisar são (copiadas exatamente):
(a) Três pontos distintos determinam um plano.
(b) Um ponto e uma reta determinam um único plano.
(c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.
(d) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos.
(e) Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos.
Informações relevantes que vamos usar (conceitos que aparecem implicitamente no enunciado):
  • O que significa “determinar um plano” (quando um conjunto de pontos/retas está contido em exatamente um plano, ou em mais de um).
  • Relações entre retas: paralelas, concorrentes (intersectantes).
  • Fato padrão a recordar: duas retas distintas que se intersectam determinam um único plano; duas retas paralelas distintas também determinam um único plano.
    A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Definições e fatos básicos (explicados devagar, com exemplos simples).
  • Três pontos não-colineares determinam um plano único. Isso quer dizer: se os três pontos não estão todos sobre a mesma reta, existe exatamente um plano que passa por esses três pontos. Exemplo concreto: os pontos (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) estão no plano z=0 e não está nenhum outro plano diferente que passe por esses três pontos ao mesmo tempo.
  • Três pontos colineares (todos sobre a mesma reta) NÃO determinam um plano único: uma reta está contida em infinitos planos, então três pontos colineares estão contidos em infinitos planos. Exemplo: os pontos (0,0,0), (1,0,0), (2,0,0) estão todos na reta x-axis; qualquer plano que contenha essa reta (por exemplo o plano z=0 ou o plano y=0 girado em torno da reta x-axis) contém esses três pontos.
  • Duas retas que se intersectam determinam um plano único: se as retas r e s se encontram no ponto P e não são a mesma reta, então existe exatamente um plano que contém ambas as retas (o plano é gerado por quaisquer dois vetores não colineares originados em P).
  • Duas retas paralelas distintas determinam também um plano único: duas paralelas são contidas em um mesmo plano e esse plano é único.
  • Um ponto e uma reta: se o ponto não pertence à reta, então existe um único plano que contém a reta e o ponto (a reta e o ponto fora dela definem uma única posição de plano). Se o ponto pertence à reta, então há infinitos planos que contêm a reta (e portanto o ponto): pode-se “girar” o plano ao redor da reta.

Passo 3

Análise da afirmação (a): “Três pontos distintos determinam um plano.”
Raciocínio detalhado:
  • A frase “três pontos distintos” inclui tanto o caso em que os três pontos são não-colineares quanto o caso em que são colineares.
  • Sabendo do fato anterior: três pontos não-colineares determinam um plano único. Porém, três pontos colineares NÃO determinam um plano único (existem infinitos planos que contêm a reta que passa por esses pontos).
  • Portanto a afirmação como está escrita (sem exigir “não-colineares”) é incorreta: há contraexemplo simples com três pontos colineares, por exemplo (0,0,0), (1,0,0), (2,0,0), que não determinam um único plano.
Conclusão lógica: a afirmação está incorreta (falsa).

Passo 4

Análise da afirmação (b): “Um ponto e uma reta determinam um único plano.”
Raciocínio detalhado:
  • Devemos distinguir duas situações: (i) o ponto não pertence à reta; (ii) o ponto pertence à reta.
  • Caso (i): se o ponto P não está sobre a reta r, então a reta r e o ponto P definem um único plano: existe exatamente um plano que contém r e P. Exemplo: reta r como o eixo x-axis e ponto P=(0,0,1) fora dela — só há um plano que contém r e P.
  • Caso (ii): se o ponto P pertence à reta r, então qualquer plano que contenha a reta r também contém P. Como existem infinitos planos que contêm uma dada reta (podem ser obtidos rotacionando um plano em torno da reta), o par (ponto sobre a reta, reta) não determina um único plano, mas sim infinitos planos.
  • A afirmação afirma que sempre determinam um único plano, sem distinguir os casos; isso está errado porque no caso em que o ponto pertence à reta há infinitos planos possíveis.
Conclusão lógica: a afirmação está incorreta (falsa).

Passo 5

Análise da afirmação (c): “Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos.”
Interpretação do enunciado: temos duas retas a e b paralelas e distintas, e uma terceira reta c que é concorrente com as duas (ou seja, corta/intersecta cada uma delas). O enunciado afirma que essas três retas determinam dois planos distintos.
Raciocínio detalhado:
  • Fato importante: duas retas paralelas distintas a e b determinam um único plano \pi. Isso porque existe exatamente um plano que contém duas retas paralelas distintas.
  • Se a reta c intersecta a em A e intersecta b em B, então os pontos A e B pertencem ao plano \pi (porque A\in a\subset\pi e B\in b\subset\pi). A reta que passa por A e B é precisamente c. Logo c\subset\pi.
  • Assim as três retas a,b,c estão todas contidas no mesmo plano \pi. Não surgirão dois planos separados: existe apenas um plano que contém a e b, e qualquer reta que intersecte ambas deve necessariamente estar nesse mesmo plano.
Consequência: a afirmação que diz “determinam dois planos distintos” é incorreta; o número de planos determinados é um (não dois).
Conclusão lógica: a afirmação está incorreta (falsa).

Passo 6

Análise da afirmação (d): “Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos.”
Interpretação: seja um conjunto de três retas l_1,l_2,l_3 tais que cada par é paralela (ou seja, são paralelas entre si, todas com a mesma direção). Devemos checar quantos planos distintos podem ser determinados por essas três retas: 1 ou 3?
Raciocínio detalhado por casos:
  • Caso 1 (todas coplanares): se l_1,l_2,l_3 estão todas no mesmo plano (por exemplo, três retas horizontais distintas em um mesmo plano), então elas determinam exatamente um plano. Isso é possível: pense em três ruas paralelas num mesmo mapa plano → um único plano.
  • Caso 2 (não todas coplanares): suponha que nem todas estejam no mesmo plano. Tome l_1 e l_2. Como são paralelas distintas, l_1 e l_2 determinam um plano \pi_{12}. Tome l_1 e l_3; também determinam um plano \pi_{13}. E l_2 e l_3 determinam \pi_{23}. Mostrar que nesses casos \pi_{12},\pi_{13},\pi_{23} são planos distintos leva a três planos distintos. É impossível que apenas dois desses planos sejam distintos sem que todos os três retas fiquem coplanares (um pequeno argumento por contradição: se \pi_{12}=\pi_{13} então l_1,l_2,l_3 estariam todos em \pi_{12}, contradizendo a hipótese de não-coplanaridade). Portanto, quando não são todos coplanares o número de planos distintos é três.
  • Não existe o caso “exatamente dois planos” para três retas pairwise paralelas: ou todas estão no mesmo plano (1) ou estão distribuídas de modo que cada par define um plano diferente (3).
Exemplos positivos:
  • Um plano: l_1,l_2,l_3 paralelas no plano z=0.
  • Três planos: linhas paralelas em três alturas diferentes (por exemplo, as retas \{(t,0,0)\}, \{(t,1,0)\}, \{(t,0,1)\} dão as três combinações de planos distintas).
Conclusão lógica: as opções possíveis são realmente 1 ou 3, como diz a afirmação.

Passo 7

Análise da afirmação (e): “Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos.”
Interpretação: três retas distintas tais que cada par delas se intersecta (ou seja, são pairwise intersecting). Isso inclui dois subcasos principais:
  • Subcaso A: as três retas são concorrentes num mesmo ponto P (todas passam por P).
    • Se além de passarem por P elas estiverem todas contidas num mesmo plano, então determinam esse único plano. Por outro lado, se elas passam por P mas não são coplanares (imagine eixos x,y,z que se encontram na origem), então cada par de retas gera um plano distinto passando por P (por exemplo, planos xy, xz, yz), totalizando três planos distintos.
  • Subcaso B: as três retas se intersectam par a par em pontos distintos (por exemplo, são as três retas que formam os lados de um triângulo em um mesmo plano). Nesse caso elas estão todas em um mesmo plano (os lados de um triângulo) e, portanto, determinam exatamente um plano.
    Argumento de impossibilidade de exatamente dois planos: se duas retas determinam um plano \pi e a terceira interseta cada uma delas em pontos distintos, então a terceira está forçosamente em \pi (porque contém dois pontos de \pi), logo há apenas um plano; se a terceira não está em \pi, então cada par que envolve a terceira cria um plano distinto, chegando a três planos. Assim ou 1 ou 3 são as possibilidades.
Conclusão lógica: as possibilidades descritas na afirmação (um ou três planos) estão corretas.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) F
(d) V
(e) V

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