Dadas as duas seguintes amostras aleatórias de escores, testar a significância da diferença entre suas médias:
Amostra 1 Amostra 2
5 9
7 7
7 9
3 8
6 7

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras independentes de tamanho n1=5 e n2=5 com os seguintes valores:
Amostra 1: 5,;7,;7,;3,;6
Amostra 2: 9,;7,;9,;8,;7
O objetivo é testar se as médias dessas populações são diferentes. Vamos usar o teste t de Student bilateral para duas amostras independentes, assumindo variâncias iguais. Precisamos:
  1. Calcular bar x1, bar x2 e s1^2, s2^2.
  2. Calcular a variância agrupada sp^2.
  3. Obter a estatística
t = bar x1 - bar x2sp raiztfrac1n1 + tfrac1n2
  1. Comparar |t| com o valor crítico t0,025;,n1+n2-2 para alpha=0,05.

Passo 2

Calcular médias e variâncias amostrais:
bar x1 = 5+7+7+3+65 = 285 = 5,6, bar x2 = 9+7+9+8+75 = 405 = 8
Para s1^2 usamos
s1^2 = sum xi^2 - n1,bar x1^2n1-1 = (25+49+49+9+36) - 5cdot(5,6)^24 = 168 - 5cdot31,364 = 168 - 156,84 = 2,8
Similarmente,
s2^2 = (81+49+81+64+49) - 5cdot8^24 = 324 - 5cdot644 = 324 - 3204 = 1

Passo 3

Calcular a variância agrupada sp^2 e o desvio padrão sp:
sp^2 = (n1-1),s1^2 + (n2-1),s2^2n1 + n2 - 2 = 4cdot2,8 + 4cdot18 = 11,2 + 48 = 1,9, sp = raiz1,9approx1,378
A estatística t fica
t = bar x1 - bar x2sp raiztfrac1n1 + tfrac1n2 = 5,6 - 81,378 ,raiz0,2 + 0,2 = -2,41,378 times 0,632 approx -2,756

Passo 4

Como é teste bilateral com alpha=0,05, os graus de liberdade são
nu = n1 + n2 - 2 = 8,
e o valor crítico é
t0,025;,8approx2,306
Comparamos lvert trvert approx2,756 com 2,306.

Passo 5

Visto que
lvert trvert = 2,756 > 2,306,
rejeitamos H0 ao nível de 5%. Ou seja, há evidência significativa de que as médias das duas populações são diferentes.

Resposta

Ao nível de alpha=0,05, rejeita-se H0 e conclui-se que existe diferença significativa entre as médias das duas amostras.

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