Considere que a função de onda normalizada
como uma soma de duas autofunções do operador
. Mostre que o valor esperado
é
, ou seja, nessa situação, o valor esperado é uma média ponderada dos autovalores de
, com a ponderação igual ao módulo quadrado dos coeficientes da expansão
.
Passo 1
O enunciado dá uma função de onda normalizada
onde e
são autofunções ortonormais do operador
com autovalores
e
. Queremos mostrar que o valor esperado
é dado por
onde
Para isso vamos usar (i) a definição de valor esperado, (ii) a linearidade do operador e (iii) a ortonormalidade das autofunções.
Passo 2
Escrevemos a definição de valor esperado de
em
:
Passo 3
Substituindo
e expandindo, obtemos quatro termos:
Pela linearidade, isso vira
Passo 4
Como
, cada integral fica
onde
é o delta de Kronecker. Logo os termos cruzados
somam zero e restam apenas