Considere que a função de onda normalizada \psi(x)=c_{1} \psi_{1}+c_{2} \psi_{2} como uma soma de duas autofunções do operador \widehat{\Omega}. Mostre que o valor esperado \langle\Omega\rangle é \langle\Omega\rangle=\left|c_{1}\right|^{2} \omega_{1}+\left|c_{2}\right|^{2} \omega_{2}, ou seja, nessa situação, o valor esperado é uma média ponderada dos autovalores de \widehat{\Omega}, com a ponderação igual ao módulo quadrado dos coeficientes da expansão c_{k}.

Passo 1

O enunciado dá uma função de onda normalizada \psi(x)=c_{1}\,\psi_{1}(x)+c_{2}\,\psi_{2}(x)
onde \psi_{1} e \psi_{2} são autofunções ortonormais do operador \widehat{\Omega} com autovalores \omega_{1} e \omega_{2}. Queremos mostrar que o valor esperado \langle\Omega\rangle é dado por
\langle\Omega\rangle=\lvert c_{1}\rvert^{2}\,\omega_{1}+\lvert c_{2}\rvert^{2}\,\omega_{2}.
Para isso vamos usar (i) a definição de valor esperado, (ii) a linearidade do operador e (iii) a ortonormalidade das autofunções.

Passo 2

Escrevemos a definição de valor esperado de \widehat{\Omega} em \psi:
\langle\Omega\rangle =\int \psi^{*}(x)\,\widehat{\Omega}\,\psi(x)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Substituindo \psi(x)=c_{1}\psi_{1}+c_{2}\psi_{2} e expandindo, obtemos quatro termos:
\langle\Omega\rangle =\int\bigl(c_{1}^{*}\psi_{1}^{*}+c_{2}^{*}\psi_{2}^{*}\bigr)\, \widehat{\Omega}\bigl(c_{1}\psi_{1}+c_{2}\psi_{2}\bigr)\,\mathrm{d}x.
Pela linearidade, isso vira
\langle\Omega\rangle =\lvert c_{1}\rvert^{2}\!\int\psi_{1}^{*}\widehat{\Omega}\psi_{1} +c\,c_{1}^{*}c_{2}\!\int\psi_{1}^{*}\widehat{\Omega}\psi_{2} +c_{2}^{*}c_{1}\!\int\psi_{2}^{*}\widehat{\Omega}\psi_{1} +\lvert c_{2}\rvert^{2}\!\int\psi_{2}^{*}\widehat{\Omega}\psi_{2}.

Passo 4

Como \widehat{\Omega}\psi_{i}=\omega_{i}\psi_{i}, cada integral fica
\int\psi_{i}^{*}\widehat{\Omega}\psi_{j} =\omega_{j}\!\int\psi_{i}^{*}\psi_{j} =\omega_{j}\,\delta_{ij},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker. Logo os termos cruzados i\neq j somam zero e restam apenas
\langle\Omega\rangle =\lvert c_{1}\rvert^{2}\,\omega_{1} +\lvert c_{2}\rvert^{2}\,\omega_{2}.

Resposta

\displaystyle \langle\Omega\rangle=\lvert c_{1}\rvert^{2}\,\omega_{1}+\lvert c_{2}\rvert^{2}\,\omega_{2}.

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