8 Dadas as equações das elipses:
8.1) x^2+4 y^2+2 x-24 y+33=0
8.2) 17 x^2+12 x y+8 y^2-100=0
determine para cada uma os seguintes itens:
a) as coordenadas dos vértices e focos;
b) a excentricidade e o comprimento do latus rectum;
c) as equações dos eixos focal e normal;
d) comprimentos dos eixos maior e menor.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos duas elipses dadas em coordenadas x,y. A parte ( 8.1) é uma elipse deslocada mas sem termo misto; a parte ( 8.2) é uma elipse centrada na origem com termo misto xy, logo girada. Para cada elipse vamos (i) reduzir à forma canônica (completação de quadrados ou rotação de eixos), (ii) identificar a, b, c e centro, (iii) obter vértices e focos, (iv) calcular excentricidade e e comprimento do latus rectum 2b^2/a, (v) escrever equações dos eixos maior (eixo focal) e menor (eixo normal) e (vi) determinar comprimentos 2a e 2b.

Passo 2

Elipse 8.1:
x^2+4y^2+2x-24y+33=0
Completemos quadrados em x e y:
x^2+2x +4l(y^2-6yr)+33=0
(x+1)^2-1 ;+;4l[(y-3)^2-9r]+33=0
(x+1)^2+4(y-3)^2-1-36+33=0
(x+1)^2+4(y-3)^2=4
Dividindo por 4:
(x+1)^24+(y-3)^21=1
Logo o centro é (-1,3), a^2=4, b^2=1, a=2, b=1.

Passo 3

Para 8.1:
c^2 = a^2 - b^2 = 4 - 1 = 3, c = raiz3.
Vértices (eixo maior horizontal):
(-1 pm a,,3) = l(1,3r) e l(-3,3r)
Focos:
(-1 pm raiz3,,3)
Excentricidade e = ca = raiz32
Latus rectum 2b^2a = 2 cdot 12 = 1

Passo 4

Equações dos eixos para 8.1:
eixo maior (focal): y=3.
eixo menor (normal): x=-1.
Comprimentos:
2a=4, 2b=2

Passo 5

Elipse 8.2:
17x^2+12xy+8y^2-100=0
Tratamos a parte quadrática como matriz 17&66&8. Os autovalores são
lambda1,2=17+8pmraiz(17-8)^2+12^22 =25pm152 ;Rightarrow;lambda1=20,;lambda2=5
Logo sob rotação de eixos por ângulo alpha com
tan2alpha=1217-8=43,
a equação fica
20X^2+5Y^2=100 ;Longrightarrow; X^25+Y^220=1

Passo 6

Na forma canônica de 8.2 temos a^2 = 20, b^2 = 5, a = raiz20 = 2raiz5, b = raiz5.
c^2 = a^2 - b^2 = 20 - 5 = 15, c = raiz15.

Passo 7

Vértices em (X,Y) são (0,pm a)=(0,pm2raiz5). Para voltar a (x,y) usamos
x = Xcosalpha - Ysinalpha, y = Xsinalpha + Ycosalpha,
com tanalpha=tfrac12 (solução de tan2alpha=4/3). Então
cosalpha= 1raiz1+14=tfrac2raiz5,
sinalpha=tfrac1raiz5.
Para (0,2raiz5):
x=-2raiz5sinalpha=-2raiz5cdot1raiz5=-2, y=2raiz5cosalpha=2raiz5cdot2raiz5=4
Para (0,-2raiz5): ;(2,-4).
Focos em (X,Y)=(0,pmraiz15) viram
(-raiz3,,2raiz3) e (raiz3,,-2raiz3)

Passo 8

Para 8.2:
e=ca=raiz152raiz5=raiz32, latus rectum=2b^2a=2cdot52raiz5=raiz5

Passo 9

Equações dos eixos de 8.2 (passando pela origem):
eixo maior (focal) é reta na direção de Y e faz ângulo alpha+90^circ com x; sua inclinação é
tan(alpha+90^circ)=-cotalpha=-2,
logo
y=-2x
eixo menor (normal) perpendicular:
y=tfrac12 x

Passo 10

Comprimentos para 8.2:
2a=4raiz5, 2b=2raiz5

Resposta

8.1)
a) Centro (-1,3), vértices (1,3), (-3,3); focos l(-1pmraiz3,3r).
b) e=tfracraiz32, latus rectum =1.
c) Eixo focal y=3; eixo normal x=-1.
d) Eixos maior e menor: 2a=4, 2b=2.
8.2)
a) Centro (0,0), vértices (-2,4), (2,-4); focos l(-raiz3,2raiz3r), l(raiz3,-2raiz3r).
b) e=tfracraiz32, latus rectum =raiz5.
c) Eixo focal y=-2x; eixo normal y=tfrac12x.
d) Eixos maior e menor: 2a=4raiz5, 2b=2raiz5.

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