8 Dadas as equações das elipses:
8.1)
8.2)
determine para cada uma os seguintes itens:
a) as coordenadas dos vértices e focos;
b) a excentricidade e o comprimento do latus rectum;
c) as equações dos eixos focal e normal;
d) comprimentos dos eixos maior e menor.
8.1)
8.2)
determine para cada uma os seguintes itens:
a) as coordenadas dos vértices e focos;
b) a excentricidade e o comprimento do latus rectum;
c) as equações dos eixos focal e normal;
d) comprimentos dos eixos maior e menor.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos duas elipses dadas em coordenadas
. A parte (
) é uma elipse deslocada mas sem termo misto; a parte (
) é uma elipse centrada na origem com termo misto
, logo girada. Para cada elipse vamos (i) reduzir à forma canônica (completação de quadrados ou rotação de eixos), (ii) identificar
,
,
e centro, (iii) obter vértices e focos, (iv) calcular excentricidade
e comprimento do latus rectum
, (v) escrever equações dos eixos maior (eixo focal) e menor (eixo normal) e (vi) determinar comprimentos
e
.
Passo 2
Elipse
:
Completemos quadrados em
e
:
Dividindo por
:
Logo o centro é
,
,
,
,
.
Passo 3
Para
:
,
.
Vértices (eixo maior horizontal):
Vértices (eixo maior horizontal):
Focos:
Excentricidade
Latus rectum
Latus rectum
Passo 4
Equações dos eixos para
:
eixo maior (focal): .
eixo menor (normal): .
Comprimentos:
eixo maior (focal):
eixo menor (normal):
Comprimentos:
Passo 5
Elipse
:
Tratamos a parte quadrática como matriz
. Os autovalores são
Logo sob rotação de eixos por ângulo
com
a equação fica
Passo 6
Na forma canônica de
temos
,
,
,
.
,
.
Passo 7
Vértices em
são
. Para voltar a
usamos
com
(solução de
). Então
,
.
Para :
Para
Para
:
.
Focos em viram
Focos em
Passo 8
Para
:
Passo 9
Equações dos eixos de
(passando pela origem):
eixo maior (focal) é reta na direção de e faz ângulo
com
; sua inclinação é
eixo maior (focal) é reta na direção de
logo
eixo menor (normal) perpendicular:
Passo 10
Comprimentos para
:
Resposta
a) Centro
b)
c) Eixo focal
d) Eixos maior e menor:
a) Centro
b)
c) Eixo focal
d) Eixos maior e menor: