Determine se o conjunto de vetores S=(2,-1,3),(4,-2,6),(1,0,1) é linearmente independente ou linearmente dependente. (Apresente todos os cálculos, principalmente a combinação e a construção do sistema de equações lineares. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 pto).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto de vetores
S = (2,-1,3),;(4,-2,6),;(1,0,1)
é linearmente independente ou dependente em R^3.
Conteúdo: linearidade de vetores em R^n. Vamos usar uma combinação linear
alpha(2,-1,3) + beta(4,-2,6) + gamma(1,0,1) = (0,0,0)
e montar o sistema de equações nas componentes.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear igual ao vetor nulo, temos
alpha(2,-1,3) + beta(4,-2,6) + gamma(1,0,1) = (0,0,0)
Isso gera as seguintes equações nas componentes x, y e z:

Passo 3

Sistema de equações lineares:
2alpha + 4beta + 1gamma = 0, -1alpha - 2beta + 0gamma = 0, 3alpha + 6beta + 1gamma = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação:
-,alpha - 2beta = 0 Longrightarrow alpha = -2beta
  1. Substituindo alpha=-2beta na primeira equação:
2(-2beta) + 4beta + gamma = 0 Longrightarrow -4beta + 4beta + gamma = 0 Longrightarrow gamma = 0
  1. Substituindo alpha=-2beta e gamma=0 na terceira equação:
3(-2beta) + 6beta + 0 = 0 Longrightarrow -6beta + 6beta = 0,
que é satisfeita para qualquer valor de beta.
Como há infinitas soluções (por exemplo, escolhendo beta=1 alpha=-2, gamma=0), existe solução não trivial. Logo os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.
Um exemplo de relação não trivial é
-2,(2,-1,3);+;1,(4,-2,6);+;0,(1,0,1);=;(0,0,0)

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