Seja T: V longrightarrow W uma transformaçāo linear
Mostre que se T(v1), ldots, T(vn) in W sāo L.I. entāo v1, ldots, vn sāo L.I

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se
;T:Vto W
é linear e os vetores
;T(v1),dots,T(vn)in W
são linearmente independentes, então os vetores
;v1,dots,vnin V
também são linearmente independentes.
Vamos usar a definição de independência linear e a propriedade de linearidade de T.

Passo 2

Lembrando a definição de independência linear: vetores v1,dots,vn em um espaço vetorial V são linearmente independentes se, e somente se, para quaisquer escalares a1,dots,an, a condição
a1v1+cdots+anvn=0
implica
;a1=a2=cdots=an=0.

Passo 3

Suponha que existam escalares a1,dots,an tais que
a1v1+cdots+anvn=0
Nosso objetivo é provar que todos os ai são zero.

Passo 4

Aplicando T à combinação linear e usando que T é linear e T(0)=0, obtemos
Tl(a1v1+cdots+anvnr) = a1T(v1)+cdots+anT(vn) = T(0) =0

Passo 5

Como T(v1),dots,T(vn) são, por hipótese, linearmente independentes em W, da igualdade
a1T(v1)+cdots+anT(vn)=0
segue que
;a1=a2=cdots=an=0.
Pela definição de independência linear, concluímos que v1,dots,vn são linearmente independentes em V.

Resposta

Os vetores v1,dots,vn são linearmente independentes.

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