Seja
uma transformaçāo linear
Mostre que se
sāo L.I. entāo
sāo L.I
Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é linear e os vetores
são linearmente independentes, então os vetores
também são linearmente independentes.
Vamos usar a definição de independência linear e a propriedade de linearidade de .
é linear e os vetores
são linearmente independentes, então os vetores
também são linearmente independentes.
Vamos usar a definição de independência linear e a propriedade de linearidade de
Passo 2
Lembrando a definição de independência linear: vetores
em um espaço vetorial
são linearmente independentes se, e somente se, para quaisquer escalares
, a condição
implica
.
Passo 3
Suponha que existam escalares
tais que
Nosso objetivo é provar que todos os
são zero.
Passo 4
Aplicando
à combinação linear e usando que
é linear e
, obtemos
Passo 5
Como
são, por hipótese, linearmente independentes em
, da igualdade
segue que
.
Pela definição de independência linear, concluímos que são linearmente independentes em
.
Pela definição de independência linear, concluímos que
Resposta
Os vetores
são linearmente independentes.