Determine se o conjunto de vetores S=[cc2 & -1 5 & 3],[cc1 & 4 -2 & 0] é linearmente independente ou linearmente dependente. (Apresente todos os cálculos, principalmente a combinação e a construção do sistema de equações lineares. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 pto).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de matrizes
S = A1, A2, A1 = 2 & -1 5 & 3, A2 = 1 & 4 -2 & 0
é linearmente independente ou dependente em M2times2. Vamos usar a definição: S é linearmente independente se a única solução do sistema
alpha A1 + beta A2 = O
for alpha=beta=0.

Passo 2

Formamos a combinação linear igual à matriz nula:
alpha 2 & -1 5 & 3 ;+; beta 1 & 4 -2 & 0 ;=; 0 & 0 0 & 0

Passo 3

Igualando cada entrada à zero, obtemos o sistema
2alpha + 1beta = 0, -1alpha + 4beta = 0, 5alpha -2beta = 0, 3alpha + 0beta = 0

Passo 4

Da quarta equação segue
3alpha = 0 Longrightarrow alpha = 0
Substituindo alpha=0 na primeira equação,
2cdot0 + beta = 0 Longrightarrow beta = 0
Logo o único par (alpha,beta) que satisfaz é (0,0).

Passo 5

Como só existe a combinação trivial, concluímos que S é linearmente independente.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente.

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