Dadas as equações das parábolas:
2.1) 4 y^{2}-48 x-20 y-71=0
2.2) \mathrm{y}^{2}-2 \mathrm{xy}+\mathrm{x}^{2}+16 \mathrm{x}+16 \mathrm{y}=0,
Determine para cada uma delas o comprimento do latus rectum.

Passo 1

O problema dá duas equações de parábolas e pede, para cada uma, o comprimento do latus rectum. Informações dadas:
  • Equação 2.1: 4 y^{2}-48 x-20 y-71=0.
  • Equação 2.2: y^{2}-2xy+x^{2}+16x+16y=0.
O que é pedido:
  • Para a parábola da equação 2.1: determinar o comprimento do latus rectum.
  • Para a parábola da equação 2.2: determinar o comprimento do latus rectum.

Passo 2

Conceito e fórmula útil (aula rápida):
  • Para uma parábola escrita na forma canônica (y-k)^{2}=4p(x-h) (parábola com eixo paralelo ao eixo x), o foco é (h+p,k) e o latus rectum é o segmento focal perpendicular ao eixo da parábola; o seu comprimento vale |4p|.
  • Analogamente, para a forma (x-h)^{2}=4p(y-k) (eixo paralelo a y), o comprimento do latus rectum também é |4p|.
  • Assim, a estratégia geral é: reescrever a equação no formato canônico adequado e ler o valor de 4p. Em caso de termo misto xy (parábola rotacionada), aplica-se uma rotação de eixos que elimina o termo xy (rotações preservam comprimentos).

Passo 3

Resolução da equação 2.1: transformar para a forma (y-k)^{2}=4p(x-h).
A equação é
4y^{2}-48x-20y-71=0.
Agrupando os termos em y e isolando x:
4(y^{2}-5y)-48x-71=0.
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Para y^{2}-5y a metade do coeficiente de y é 5/2, e o quadrado é (5/2)^{2}=25/4. Então
y^{2}-5y=(y-\tfrac{5}{2})^{2}-\tfrac{25}{4}.
Substituindo de volta:
4\Big((y-\tfrac{5}{2})^{2}-\tfrac{25}{4}\Big)-48x-71=0.
Distribuindo o 4:
4(y-\tfrac{5}{2})^{2}-25-48x-71=0.
Somando constantes:
4(y-\tfrac{5}{2})^{2}-48x-96=0.
Isolando o quadrado:
4(y-\tfrac{5}{2})^{2}=48x+96.
Dividindo por 4:
(y-\tfrac{5}{2})^{2}=12x+24.
Colocando em forma canônica (y-k)^{2}=4p(x-h):
(y-\tfrac{5}{2})^{2}=12\big(x+2\big).
Logo 4p=12, ou seja p=3. Portanto o comprimento do latus rectum é
|4p|=12.

Passo 4

Resolução da equação 2.2: eliminar o termo misto xy por rotação de eixos.
A equação é
y^{2}-2xy+x^{2}+16x+16y=0.
Observe que y^{2}-2xy+x^{2}=(y-x)^{2}. Assim
(y-x)^{2}+16(x+y)=0.
Para eliminar a mistura x+y e y-x é conveniente usar a rotação de 45^\circ. Definimos as novas coordenadas (rotação de 45^\circ):
X=\frac{x+y}{\sqrt{2}},\qquad Y=\frac{y-x}{\sqrt{2}}.
Estas fórmulas são escolhidas porque são inversíveis e representam uma rotação rígida (comprimentos são preservados). Em particular:
y-x=\sqrt{2}\,Y,\qquad x+y=\sqrt{2}\,X.
Substituindo na equação:
(y-x)^{2}+16(x+y)=0 \quad\Rightarrow\quad (\sqrt{2}\,Y)^{2}+16(\sqrt{2}\,X)=0.
Isso dá
2Y^{2}+16\sqrt{2}\,X=0.
Dividindo por 2:
Y^{2}+8\sqrt{2}\,X=0,
ou
Y^{2}=-8\sqrt{2}\,X.
Agora estamos na forma canônica (Y-k)^{2}=4p(X-h) com 4p=-8\sqrt{2}. Assim
p=-2\sqrt{2}.
O comprimento do latus rectum é |4p|=|-8\sqrt{2}|=8\sqrt{2}.
Observação rápida: a rotação usada é uma isometria (preserva distâncias), então o comprimento calculado nesta nova base é o mesmo comprimento na base original.

Resposta

2.1)\\\ 12
2.2)\\\ 8\sqrt{2}

Exercícios relacionados