Dadas as equações das parábolas:
2.1)
2.2)
,
Determine para cada uma delas o comprimento do latus rectum.
2.1)
2.2)
Determine para cada uma delas o comprimento do latus rectum.
Passo 1
O problema dá duas equações de parábolas e pede, para cada uma, o comprimento do latus rectum. Informações dadas:
- Equação 2.1:
- Equação 2.2:
O que é pedido:
- Para a parábola da equação 2.1: determinar o comprimento do latus rectum.
- Para a parábola da equação 2.2: determinar o comprimento do latus rectum.
Passo 2
Conceito e fórmula útil (aula rápida):
- Para uma parábola escrita na forma canônica
(parábola com eixo paralelo ao eixo ), o foco é e o latus rectum é o segmento focal perpendicular ao eixo da parábola; o seu comprimento vale . - Analogamente, para a forma
(eixo paralelo a ), o comprimento do latus rectum também é . - Assim, a estratégia geral é: reescrever a equação no formato canônico adequado e ler o valor de
. Em caso de termo misto (parábola rotacionada), aplica-se uma rotação de eixos que elimina o termo (rotações preservam comprimentos).
Passo 3
Resolução da equação 2.1: transformar para a forma
.
A equação é
A equação é
Agrupando os termos em
e isolando
:
Agora completamos o quadrado dentro do parêntese. Para
a metade do coeficiente de
é
, e o quadrado é
. Então
Substituindo de volta:
Distribuindo o
:
Somando constantes:
Isolando o quadrado:
Dividindo por
:
Colocando em forma canônica
:
Logo
, ou seja
. Portanto o comprimento do latus rectum é
Passo 4
Resolução da equação 2.2: eliminar o termo misto
por rotação de eixos.
A equação é
A equação é
Observe que
. Assim
Para eliminar a mistura
e
é conveniente usar a rotação de
. Definimos as novas coordenadas (rotação de
):
Estas fórmulas são escolhidas porque são inversíveis e representam uma rotação rígida (comprimentos são preservados). Em particular:
Substituindo na equação:
Isso dá
Dividindo por
:
ou
Agora estamos na forma canônica
com
. Assim
O comprimento do latus rectum é
.
Observação rápida: a rotação usada é uma isometria (preserva distâncias), então o comprimento calculado nesta nova base é o mesmo comprimento na base original.