Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de
:
Passo 1
O enunciado dá o subespaço formado por matrizes
cujas entradas satisfazem a relação
. Mais precisamente:
- Elementos do subespaço têm a forma
com a condição .
O que precisa ser encontrado: - a dimensão do subespaço;
- uma base (isto é, um conjunto de matrizes linearmente independentes que geram o subespaço).]
Passo 2
Vamos escrever um elemento geral do subespaço usando a condição
. Substituindo na matriz, um elemento qualquer
do subespaço pode ser escrito como
Aqui
são parâmetros livres (podem variar livremente no corpo considerado, por exemplo
).]
Passo 3
Agora vamos reorganizar
como combinação linear das matrizes obtidas escolhendo um parâmetro por vez igual a
e os outros
. Decompondo:
Portanto qualquer
do subespaço é combinação linear das três matrizes
Isto mostra que
gera o subespaço.]
Passo 4
Para concluir que
é uma base, falta mostrar que essas matrizes são linearmente independentes. Suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo as entradas, isso dá o sistema (entradas correspondentes igualando-se a zero):
- entrada
: , - entrada
: , - entrada
: , - entrada
: .
Das duas primeiras equações já vem
e
; da última
. Logo a única combinação linear que dá a matriz zero é
. Portanto
são linearmente independentes.]
Passo 5
Como
gera o subespaço e é linearmente independente, é uma base. Assim o número de vetores na base é a dimensão do subespaço. Conclusão:
- dimensão igual a
; - uma base é
definida acima.
Observação rápida e útil para a prova:
e a condição linear
é uma única restrição linear não-trivial, por isso diminui a dimensão em
, levando de
para
. Isso confirma o resultado obtido explicitamente.