Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M(2,2) :
\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] ; b=a+c\right\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço formado por matrizes 2\times2 cujas entradas satisfazem a relação b=a+c. Mais precisamente:
  • Elementos do subespaço têm a forma \displaystyle \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} com a condição \displaystyle b=a+c.
    O que precisa ser encontrado:
  • a dimensão do subespaço;
  • uma base (isto é, um conjunto de matrizes linearmente independentes que geram o subespaço).]

Passo 2

Vamos escrever um elemento geral do subespaço usando a condição \displaystyle b=a+c. Substituindo na matriz, um elemento qualquer X do subespaço pode ser escrito como
X=\begin{pmatrix}a & a+c\\[4pt] c & d\end{pmatrix}.
Aqui \displaystyle a,c,d são parâmetros livres (podem variar livremente no corpo considerado, por exemplo \mathbb{R}).]

Passo 3

Agora vamos reorganizar X como combinação linear das matrizes obtidas escolhendo um parâmetro por vez igual a 1 e os outros 0. Decompondo:
\begin{pmatrix}a & a+c\\[4pt] c & d\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} + d\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Portanto qualquer X do subespaço é combinação linear das três matrizes
E_1=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\qquad E_3=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Isto mostra que \{E_1,E_2,E_3\} gera o subespaço.]

Passo 4

Para concluir que \{E_1,E_2,E_3\} é uma base, falta mostrar que essas matrizes são linearmente independentes. Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha E_1+\beta E_2+\gamma E_3 = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Escrevendo as entradas, isso dá o sistema (entradas correspondentes igualando-se a zero):
  • entrada (1,1): \alpha = 0,
  • entrada (1,2): \alpha+\beta = 0,
  • entrada (2,1): \beta = 0,
  • entrada (2,2): \gamma = 0.
Das duas primeiras equações já vem \alpha=0 e \beta=0; da última \gamma=0. Logo a única combinação linear que dá a matriz zero é \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto E_1,E_2,E_3 são linearmente independentes.]

Passo 5

Como \{E_1,E_2,E_3\} gera o subespaço e é linearmente independente, é uma base. Assim o número de vetores na base é a dimensão do subespaço. Conclusão:
  • dimensão igual a 3;
  • uma base é \{E_1,E_2,E_3\} definida acima.
Observação rápida e útil para a prova: \dim M(2,2)=4 e a condição linear b-a-c=0 é uma única restrição linear não-trivial, por isso diminui a dimensão em 1, levando de 4 para 3. Isso confirma o resultado obtido explicitamente.

Resposta

\dim = 3
\mathcal{B}=\left\{\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\right\}]

Exercícios relacionados