1. Dadas as equações paramétricas lx=3+2 h+t y=4-h+t z=6-h+2 t, obter uma equação geral do plano.

Passo 1

O enunciado dá a forma paramétrica do plano
x = 3 + 2h + t, y = 4 - h + t, z = 6 - h + 2t,
e pede a equação geral do plano. O conteúdo aqui é usar vetores diretores e o produto vetorial para achar o vetor normal e daí montar ax+by+cz+d=0.

Passo 2

Identificamos um ponto P0 que pertence ao plano e dois vetores diretores. Tomando h=0,;t=0 vemos
P0 = (3,4,6)
Os vetores diretores são os coeficientes de h e de t, ou seja
v = (2,,-1,,-1), w = (1,,1,,2)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial vtimes w. Calculando
n = v times w = det i & j & k 2 & -1 & -1 1 & 1 & 2 = (-1,,-5,,3)

Passo 4

A equação geral do plano vem de
ncdotl((x,y,z)-P0r)=0,
ou seja
(-1)(x-3)+(-5)(y-4)+3(z-6)=0
Expandindo e simplificando obtemos
-x+3-5y+20+3z-18=0 Longrightarrow -x-5y+3z+5=0
Multiplicando por -1 para ficar mais usual, temos
x+5y-3z-5=0

Resposta

x + 5y - 3z - 5 = 0

Exercícios relacionados