1. Determinar a equação geral do plano perpendicular à reta r:ly=3 x+2 z=4 x-2 e que contenha o ponto A(3,1,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que é perpendicular à reta
r: y=3x+2, z=4x-2
e que passa pelo ponto A(3,1,2). Para isso precisamos encontrar o vetor diretor de r, que será normal ao plano, e usar a forma vetorial da equação do plano.

Passo 2

Escrevendo parametricamente a reta, tomamos x=t. Então
y=3t+2, z=4t-2,
logo um vetor diretor de r é
vec d=(1,3,4)

Passo 3

Como o plano é perpendicular a r, seu vetor normal vec n coincide com vec d. A equação vetorial do plano que passa por A e tem normal vec n é
vec ncdotl((x,y,z)-(x0,y0,z0)r)=0,
onde (x0,y0,z0)=(3,1,2).

Passo 4

Substituindo vec n=(1,3,4) e A=(3,1,2), obtemos
1,(x-3)+3,(y-1)+4,(z-2)=0
Expandindo,
x-3+3y-3+4z-8=0 Longrightarrow x+3y+4z-14=0

Resposta

x+3y+4z-14=0

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