1. Determinar uma equação geral do plano que contém as retas:
    r1:ly=2 x+2 z=3 x-1 r2:x-12=y-41=z-22

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém as retas
r1: y=2x+2, z=3x-1 e r2:x-12=y-41=z-22
O conteúdo aqui é geometria analítica espacial: vamos parametrizar cada reta, extrair um ponto e um vetor diretor de cada uma, verificar que elas se intersectam (garantindo que há um plano único) e então usar o produto vetorial para achar a normal do plano.

Passo 2

Parametrizando r1: seja t o parâmetro, então
x=t, y=2t+2, z=3t-1
Logo um ponto de r1 é P1=(0,2,-1) (obtido em t=0) e o vetor diretor é
v1=(1,2,3)

Passo 3

Parametrizando r2: seja s o parâmetro comum, então
x=1+2s, y=4+s, z=2+2s
Um ponto de r2 é P2=(1,4,2) (obtido em s=0) e o vetor diretor é
v2=(2,1,2)

Passo 4

Verificamos que as retas se intersectam, resolvendo
(t,,2t+2,,3t-1)=(1+2s,,4+s,,2+2s)
Da primeira coordenada t=1+2s. Substituindo na segunda:
2(1+2s)+2=4+simplies4s+4=4+simplies s=0,;t=1
Na terceira fica 3cdot1-1=2+2cdot0, ou seja, ambas passam por P=(1,4,2). Como têm ponto em comum, há um único plano passando por elas.

Passo 5

O vetor normal ao plano é
n=v1timesv2 = i&j&k 1&2&3 2&1&2 =(1cdot2-3cdot1,;-(1cdot2-3cdot2),;1cdot1-2cdot2) =(1,;4,;-3)

Passo 6

A equação cartesiana do plano usa (r-r0)cdotn=0 com r0=(1,4,2). Logo,
(1,4,-3)cdotl((x,y,z)-(1,4,2)r)=0
1(x-1)+4(y-4)-3(z-2)=0
Expandindo:
x-1+4y-16-3z+6=0 Longrightarrow x+4y-3z-11=0

Resposta

A equação geral do plano é
x+4y-3z-11=0

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