Dadas as seguintes retas:
r:l y=3 x-1 z=2 x+1 s:l y=4 x-2 z=3 x
(a) escreva os respectivos vetores diretores das retas;
(b) faça o estudo da posição relativa das retas;
(c) determine o ponto de interseção das retas;
(d) parametrize o segmento de reta que passa pelo ponto de interseção (item c) e pelo ponto (5,0,1).

Passo 1

O enunciado fornece duas retas em
Precisamos:
– (a) encontrar os vetores diretores;
– (b) estudar a posição relativa (paralelas, concorrentes ou reversas);
– (c) achar o ponto de interseção;
– (d) parametrizar o segmento de reta entre esse ponto e ((5,0,1)].

Passo 2

(a) Para extrair o vetor diretor, escrevemos cada reta em forma paramétrica.
Para r, tome x=t. Então
r(t) = (x,y,z) = l(t,;3t-1,;2t+1r),
logo vr = (1,3,2).
Para s, tome x=u. Então
s(u) = (u,;4u-2,;3u),
logo vs = (1,4,3).

Passo 3

(b) Primeiro, verificamos se vr e vs são proporcionais, isto é, se existe alpha tal que alpha(1,3,2)=(1,4,3). Isso exigiria
alpha=1, 3alpha=4, 2alpha=3,
o que não tem solução comum. Logo as retas não são paralelas.
Para ver se se intersectam, igualamos coordenadas paramétricas:
t=u, 3t-1=4u-2, 2t+1=3u
Da primeira t=u. Substituindo na segunda 3t-1=4t-2 t=1. Na terceira 2cdot1+1=3 confirma-se. Portanto as retas são concorrentes.

Passo 4

(c) Substituindo t=1 em r(t) obtemos o ponto
r(1) = l(1,;3cdot1-1,;2cdot1+1r) = (1,2,3)
Esse é o ponto de interseção.

Passo 5

(d) O segmento que liga P=(1,2,3) a Q=(5,0,1) tem vetor diretor
PQ = Q - P = (5-1,;0-2,;1-3) = (4,-2,-2)
Uma parametrização conveniente é
L(t) = (1,2,3) + t,(4,-2,-2), tin[0,1],
ou seja
x=1+4t, y=2-2t, z=3-2t, 0<= t<=1

Resposta

(a) vr=(1,3,2) e vs=(1,4,3).
(b) As retas não são paralelas e se intersectam (concorrentes).
(c) Ponto de interseção (1,2,3).
(d) Segmento: L(t)=(1,2,3)+t(4,-2,-2), tin[0,1].

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