Sejam B=(2,1,0) e C=(-2,0,3). Escreva equações paramétricas da reta que contém o ponto (-1,2,1) e é paralela a reta B C.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos pontos B e C e pede equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto dado e é paralela à reta BC.
Informações fornecidas:
  • B=(2,1,0).
  • C=(-2,0,3).
  • O ponto por onde a reta deve passar é P=(-1,2,1).
O que o enunciado pede:
  • Escrever equações paramétricas da reta que contém P e é paralela à reta que passa por B e C.

Passo 2

Primeiro passo prático: obter um vetor diretor da reta BC. Um vetor diretor de uma reta que passa por B e C pode ser obtido subtraindo as coordenadas de B das coordenadas de C. Isso significa calcular o vetor \overrightarrow{BC}=C-B.
Calculemos componente a componente:
\overrightarrow{BC}=(-2,0,3)-(2,1,0)=(-2-2,\;0-1,\;3-0)=(-4,\,-1,\,3).
Explicação didática: subtrair coordenadas dá o deslocamento de B para C. Esse vetor (-4,-1,3) aponta na direção da reta BC; logo qualquer reta paralela a BC tem um vetor diretor proporcional a esse.

Passo 3

Agora lembrar a forma paramétrica de uma reta no espaço: se uma reta passa por um ponto (x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor (a,b,c), então suas equações paramétricas são, para um parâmetro t,
x = x_0 + a t, \qquad y = y_0 + b t, \qquad z = z_0 + c t.
Aqui:
  • (x_0,y_0,z_0) é um ponto conhecido da reta (no nosso caso P),
  • (a,b,c) é o vetor diretor da reta (no nosso caso \overrightarrow{BC}),
  • t é o parâmetro real que percorre a reta (cada valor de t dá um ponto da reta).

Passo 4

Aplicando a fórmula com P=(-1,2,1) e o vetor diretor (a,b,c)=(-4,-1,3), obtemos:
x = -1 + (-4)t = -1 - 4t,
y = 2 + (-1)t = 2 - t,
z = 1 + 3t.
Portanto uma parametrização conveniente é essa com parâmetro t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Observações e checagens rápidas (úteis na prova):
  • Para t=0 obtemos x=-1,\;y=2,\;z=1, que é exatamente o ponto P — ótima verificação de que a reta passa por P.
  • A variação entre os pontos para t aumentando de 0 para 1 é (-4,-1,3), exatamente o vetor \overrightarrow{BC}, portanto a reta é paralela à reta BC.

Resposta

x=-1-4t
y=2-t
z=1+3t

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