mostre que T=\mu \lambda^{2} f^{2}. Calcule a incerteza da densidade linear, conhecendo as incertezas da tração I_{T}, da frequência I_{f} e do comprimento de onda [ a.
Passo 1
O enunciado dá duas equações e pede duas coisas: mostrar uma identidade relacionando T, \mu, \lambda e f, e calcular a incerteza da densidade linear sabendo as incertezas da tração, da frequência e do comprimento de onda. Dados fornecidos (vou usar a notação óbvia):
v=\lambda f
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
Incertezas conhecidas: I_{T} (incierta da tração T), I_{f} (incierta da frequência f) e I_{\lambda} (incierta do comprimento de onda \lambda).
Objetivos:
Mostrar que \;T=\mu \lambda^{2} f^{2}.
Calcular a incerteza de \mu em função de I_{T}, I_{f} e I_{\lambda}.
Passo 2
Primeiro vamos derivar a relação pedida isolando T a partir das duas expressões para v. Temos as duas fórmulas:
v=\lambda f
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
Como ambas dão v, podemos igualá-las:
\lambda f=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
Agora vamos eliminar a raiz quadrada. Para isso elevamos ambos os lados ao quadrado (operações algébricas simples — quadrar preserva igualdade):
(\lambda f)^{2}=\frac{T}{\mu}
O lado esquerdo expande-se como \lambda^{2} f^{2}. Multiplicando ambos os lados por \mu obtemos:
T=\mu \,\lambda^{2} f^{2}
Pronto — demonstramos a identidade pedida.
Passo 3
Para calcular a incerteza de \mu é mais prático escrever \mu isolada em função de T,\lambda,f. Da relação anterior:
\mu=\frac{T}{\lambda^{2} f^{2}}
É essa função cuja incerteza queremos estimar.
Passo 4
Método para propagar incertezas (explicação didática): se temos uma grandeza \;g(x,y,z) dependente de variáveis independentes x,y,z com incertezas I_x,I_y,I_z (pequenas e não correlacionadas), a incerteza absoluta em g é dada pela soma quadrática dos termos individuais obtidos pelas derivadas parciais:
Isto vem de uma expansão linear de g em torno dos valores médios (aproximação de primeira ordem). Outra forma muito útil, quando g é produto / potência de variáveis, é usar diferenciação logarítmica para obter a incerteza relativa diretamente (mais simples e muito usada em provas).
Passo 5
Vamos aplicar ambos os caminhos (parciais e log-diferencial) para \mu=\dfrac{T}{\lambda^{2} f^{2}}.
Observação útil: nas duas últimas linhas usei a expressão \mu=\dfrac{T}{\lambda^{2}f^{2}} para reescrever as derivadas de forma compacta em termos de \mu.