Dadas as equações
v=\lambda f
e
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
mostre que T=\mu \lambda^{2} f^{2}. Calcule a incerteza da densidade linear, conhecendo as incertezas da tração I_{T}, da frequência I_{f} e do comprimento de onda [ a.

Passo 1

O enunciado dá duas equações e pede duas coisas: mostrar uma identidade relacionando T, \mu, \lambda e f, e calcular a incerteza da densidade linear sabendo as incertezas da tração, da frequência e do comprimento de onda. Dados fornecidos (vou usar a notação óbvia):
v=\lambda f
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
Incertezas conhecidas: I_{T} (incierta da tração T), I_{f} (incierta da frequência f) e I_{\lambda} (incierta do comprimento de onda \lambda).
Objetivos:
  1. Mostrar que \;T=\mu \lambda^{2} f^{2}.
  2. Calcular a incerteza de \mu em função de I_{T}, I_{f} e I_{\lambda}.

Passo 2

Primeiro vamos derivar a relação pedida isolando T a partir das duas expressões para v. Temos as duas fórmulas:
v=\lambda f
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
Como ambas dão v, podemos igualá-las:
\lambda f=\sqrt{\frac{T}{\mu}}
Agora vamos eliminar a raiz quadrada. Para isso elevamos ambos os lados ao quadrado (operações algébricas simples — quadrar preserva igualdade):
(\lambda f)^{2}=\frac{T}{\mu}
O lado esquerdo expande-se como \lambda^{2} f^{2}. Multiplicando ambos os lados por \mu obtemos:
T=\mu \,\lambda^{2} f^{2}
Pronto — demonstramos a identidade pedida.

Passo 3

Para calcular a incerteza de \mu é mais prático escrever \mu isolada em função de T,\lambda,f. Da relação anterior:
\mu=\frac{T}{\lambda^{2} f^{2}}
É essa função cuja incerteza queremos estimar.

Passo 4

Método para propagar incertezas (explicação didática): se temos uma grandeza \;g(x,y,z) dependente de variáveis independentes x,y,z com incertezas I_x,I_y,I_z (pequenas e não correlacionadas), a incerteza absoluta em g é dada pela soma quadrática dos termos individuais obtidos pelas derivadas parciais:
I_g=\sqrt{\left(\frac{\partial g}{\partial x}I_x\right)^{2}+\left(\frac{\partial g}{\partial y}I_y\right)^{2}+\left(\frac{\partial g}{\partial z}I_z\right)^{2}}
Isto vem de uma expansão linear de g em torno dos valores médios (aproximação de primeira ordem). Outra forma muito útil, quando g é produto / potência de variáveis, é usar diferenciação logarítmica para obter a incerteza relativa diretamente (mais simples e muito usada em provas).

Passo 5

Vamos aplicar ambos os caminhos (parciais e log-diferencial) para \mu=\dfrac{T}{\lambda^{2} f^{2}}.
Cálculo das derivadas parciais:
\frac{\partial \mu}{\partial T}=\frac{1}{\lambda^{2} f^{2}}
\frac{\partial \mu}{\partial \lambda}=\frac{\partial}{\partial \lambda}\left(T\lambda^{-2}f^{-2}\right)=-2T\lambda^{-3}f^{-2}=-2\frac{\mu}{\lambda}
\frac{\partial \mu}{\partial f}=\frac{\partial}{\partial f}\left(T\lambda^{-2}f^{-2}\right)=-2T\lambda^{-2}f^{-3}=-2\frac{\mu}{f}
Observação útil: nas duas últimas linhas usei a expressão \mu=\dfrac{T}{\lambda^{2}f^{2}} para reescrever as derivadas de forma compacta em termos de \mu.
Agora aplicamos a fórmula de propagação:
I_{\mu}=\sqrt{\left(\frac{\partial \mu}{\partial T}I_{T}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \mu}{\partial \lambda}I_{\lambda}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \mu}{\partial f}I_{f}\right)^{2}}
Substituindo as derivadas:
I_{\mu}=\sqrt{\left(\frac{I_{T}}{\lambda^{2} f^{2}}\right)^{2}+\left(-2\frac{\mu}{\lambda}I_{\lambda}\right)^{2}+\left(-2\frac{\mu}{f}I_{f}\right)^{2}}
Como os sinais não importam dentro dos quadrados, simplificamos:
I_{\mu}=\sqrt{\left(\frac{I_{T}}{\lambda^{2} f^{2}}\right)^{2}+4\mu^{2}\left(\frac{I_{\lambda}^{2}}{\lambda^{2}}+\frac{I_{f}^{2}}{f^{2}}\right)}

Passo 6

Forma alternativa e muito prática (incerteza relativa): aplicar logaritmo em \mu=\dfrac{T}{\lambda^{2}f^{2}} e diferenciar:
\ln\mu=\ln T-2\ln\lambda-2\ln f
Diferenciando (aproximação para pequenas variações):
\frac{d\mu}{\mu}=\frac{dT}{T}-2\frac{d\lambda}{\lambda}-2\frac{df}{f}
Tratando as incertezas como desvios típicos não correlacionados e somando quadraticamente os termos obtemos a incerteza relativa:
\frac{I_{\mu}}{\mu}=\sqrt{\left(\frac{I_{T}}{T}\right)^{2}+\left(2\frac{I_{\lambda}}{\lambda}\right)^{2}+\left(2\frac{I_{f}}{f}\right)^{2}}
Multiplicando ambos os lados por \mu (que pode ser calculada por \mu=T/(\lambda^{2}f^{2})) obtemos a mesma expressão absoluta mais compacta:
I_{\mu}=\mu\sqrt{\left(\frac{I_{T}}{T}\right)^{2}+4\left(\frac{I_{\lambda}}{\lambda}\right)^{2}+4\left(\frac{I_{f}}{f}\right)^{2}}

Resposta

T=\mu \lambda^{2} f^{2}
I_{\mu}=\sqrt{\left(\frac{I_{T}}{\lambda^{2} f^{2}}\right)^{2}+4\mu^{2}\left(\frac{I_{\lambda}^{2}}{\lambda^{2}}+\frac{I_{f}^{2}}{f^{2}}\right)}
ou, de forma equivalente (incerteza relativa),
\frac{I_{\mu}}{\mu}=\sqrt{\left(\frac{I_{T}}{T}\right)^{2}+\left(2\frac{I_{\lambda}}{\lambda}\right)^{2}+\left(2\frac{I_{f}}{f}\right)^{2}}.

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