Uma cientista, a partir de um experimento que envolve ondas sonoras num tubo, fez um gráfico da relação entre o comprimento do tubo (L) e o inverso da frequência (1 / f), com a finalidade de determinar a velocidade da onda sonora, a partir da regressão linear. Sabendo que as incertezas do comprimento do tubo I_{L} e da frequência I_{f}, explique o procedimento feito por ela, e encontre a velocidade, no S.I., com a incerteza propagada.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Perguntas do enunciado:
    1. Explicar o procedimento que a cientista fez (ou seja, como obteve a velocidade da onda sonora a partir do gráfico de L versus 1/f e das incertezas).
    2. Encontrar a velocidade no Sistema Internacional (S.I.) com a incerteza propagada.
  • Informações que o enunciado fornece (explicitamente ou implicitamente):
    • A cientista mediu comprimentos L do tubo e frequências f.
    • Ela construiu um gráfico de L em função de 1/f e fez uma regressão linear nesse gráfico (ou seja, ajustou uma reta).
    • Há incertezas associadas às medidas: I_{L} (incerteza do comprimento L) e I_{f} (incerteza da frequência f).
    • A relação física entre L e f nas ressonâncias do tubo é linear quando escrita como L versus 1/f (conteúdo físico necessário será explicado nos passos seguintes).

Passo 2

Relação física entre L e f (aula curta): por que plotar L vs 1/f é linear.
  • Conceito físico: para ondas estacionárias em um tubo, o comprimento do tubo L nas ressonâncias está relacionado ao comprimento de onda \lambda. Para um modo dado (harmônico fixo) existe uma relação do tipo
L = C \lambda,
onde C é um número que depende das condições de contorno (por exemplo \,C=\tfrac{1}{4} para o primeiro modo de um tubo fechado em uma extremidade, \,C=\tfrac{1}{2} para um tubo aberto em ambas as extremidades e outros valores \,C=\tfrac{2n-1}{4} para modos ímpares num tubo fechado numa extremidade).
  • Como \lambda = v/f (definição de velocidade de onda), substituindo:
L = C \frac{v}{f}.
  • Reorganizando,
L = \underbrace{C v}_{\displaystyle m}\cdot\frac{1}{f}.
Logo, L deve ser linear em 1/f com coeficiente angular (declive) m = C v. Assim, a cientista ajustou uma reta ao gráfico L vs 1/f e obteve o declive m. A velocidade então é
v = \frac{m}{C}.
  • Observação prática: identifique experimentalmente C — para um tubo:
    • aberto-aberto (modo fundamental): C=\tfrac{1}{2}\Rightarrow v = 2m;
    • fechado-aberto (modo fundamental): C=\tfrac{1}{4}\Rightarrow v = 4m;
    • se for outro número de harmônico, C=\tfrac{2n-1}{4} e v = m / C.
      Também existe um termo de intercepto (end‑correction) que aparece como intercepto da reta; ele não altera como se obtém v a partir do declive.

Passo 3

Como tratar as incertezas das medidas e transformar f em 1/f.
  • Para cada medida de frequência f_i com incerteza I_{f_i}, definimos a variável x_i = \dfrac{1}{f_i}. Devemos calcular a incerteza associada a x_i por propagação de erro: a derivada de x=1/f em relação a f é -1/f^2. Assim a incerteza absoluta em x_i é
\sigma_{x_i} = \left|\frac{d(1/f)}{df}\right|_{f_i}\, I_{f_i} = \frac{I_{f_i}}{f_i^{2}}.
  • As medidas de comprimento são y_i = L_i com incerteza \sigma_{y_i}=I_{L_i}.
  • Resumo de transformação (cada ponto experimental):
    • x_i = \dfrac{1}{f_i} com \sigma_{x_i} = \dfrac{I_{f_i}}{f_i^{2}}.
    • y_i = L_i com \sigma_{y_i} = I_{L_i}.
  • Observação prática e decisão de método: se as \sigma_{x_i} forem muito pequenas comparadas à dispersão dos x_i ou em comparação com a influência no ajuste, pode-se ignorar as incertezas em x e fazer um ajuste com erros apenas em y (método usual). Se as \sigma_{x_i} são comparáveis às \sigma_{y_i} ou à variação de x, então deve-se usar um método que trate erros em ambas as variáveis (por exemplo o método de York). Abaixo eu explico o caso mais usado (erros em y dominantes) com fórmulas detalhadas; também descrevo a ideia do método de York.

Passo 4

Ajuste linear quando podemos considerar incerteza apenas em y (método ponderado): fórmulas, significado e cálculo passo a passo.
  • Situação: assumimos que as incertezas dominantes são \sigma_{y_i} (você terá que verificar isso comparando \sigma_{x_i} com a dispersão em x). Definimos pesos
w_i = \frac{1}{\sigma_{y_i}^{2}}.
  • Definições (somatórios sobre todos os pontos i):
S = \sum_i w_i,\quad S_x = \sum_i w_i x_i,\quad S_y = \sum_i w_i y_i,
S_{xx} = \sum_i w_i x_i^{2},\quad S_{xy} = \sum_i w_i x_i y_i.
  • Determinante auxiliar:
\Delta = S\,S_{xx} - S_x^{2}.
  • Fórmulas do ajuste linear ponderado (reta y = m x + b):
m = \frac{S\,S_{xy} - S_x\,S_y}{\Delta},
b = \frac{S_{xx}\,S_y - S_x\,S_{xy}}{\Delta}.
  • Incertezas do declive e do intercepto (desvio padrão estimado das estimativas):
\sigma_{m} = \sqrt{\frac{S}{\Delta}},\qquad \sigma_{b} = \sqrt{\frac{S_{xx}}{\Delta}}.
  • Interpretação dos símbolos:
    • m é o declive estimado (unidade: metros × segundos, já que x=1/f está em s).
    • b é o intercepto (pode conter correção de extremidade).
    • \sigma_m é a incerteza absoluta do declive (mesma unidade de m).
  • Nota prática sobre ajuste: verifique o ajuste calculando o qui-quadrado reduzido
\chi_{\nu}^{2} = \frac{1}{N-2}\sum_i w_i\bigl(y_i - m x_i - b\bigr)^{2}.
Se \chi_{\nu}^{2} estiver muito diferente de 1, as \sigma_{y_i} podem estar subestimadas/ superestimadas; então multiplique \sigma_m e \sigma_b por \sqrt{\chi_{\nu}^{2}} para obter incertezas realistas.

Passo 5

Quando as incertezas em x (isto é, em 1/f) não podem ser ignoradas: ideia do método de York (sem derivação completa, mas com procedimento).
  • Problema: se tanto \sigma_{x_i} quanto \sigma_{y_i} são relevantes, o método de mínimos quadrados simples não é correto. O método de York (1969, 2004) é o procedimento padrão que minimiza erros em ambas as direções e fornece estimativas não viesadas do declive e do intercepto.
  • Ideia do método de York (passos resumidos):
    1. Comece com um palpite para m (por ex. usando ajuste simples ignorando \sigma_{x}).
    2. Calcule pesos combinados
    w_i' = \frac{1}{\sigma_{y_i}^{2} + m^{2}\sigma_{x_i}^{2}}.
    1. Compute \bar{x} = \dfrac{\sum w_i' x_i}{\sum w_i'}, \bar{y} = \dfrac{\sum w_i' y_i}{\sum w_i'}.
    2. Atualize o declive por
    m_{\text{new}} = \frac{\sum w_i' (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum w_i' (x_i - \bar{x})^{2}}.
    1. Repetir (2–4) até convergência de m. Depois calcule b=\bar{y}-m\bar{x}.
    2. As incertezas de m e b são obtidas por fórmulas específicas do método; na prática uma implementação (ou software) calcula \sigma_m e \sigma_b automaticamente.
  • Recomendo usar York quando \sigma_{x_i} for significativa. Há implementações em Python/Matlab/R e planilhas que executam isso; mas se você tiver tempo na prova, geralmente o enunciado indica se pode ignorar \sigma_x.

Passo 6

Converter o declive em velocidade e propagar a incerteza (fórmula direta e explicação).
  • Uma vez obtido o declive m (com incerteza \sigma_{m}), lembramos que m = C v, ou seja
v = \frac{m}{C}.
  • Propagação da incerteza (regra para multiplicação/ divisão por constante): se v = \dfrac{m}{C} com C exata (sem incerteza relevante), então
\sigma_{v} = \frac{\sigma_{m}}{C}.
  • Em particular, para os casos comuns:
    • tubo aberto-aberto (fundamental): C=\tfrac{1}{2}\Rightarrow v = 2m,\\ \sigma_{v} = 2\sigma_m.
    • tubo fechado-aberto (fundamental): C=\tfrac{1}{4}\Rightarrow v = 4m,\\ \sigma_{v} = 4\sigma_m.
    • Se C=\tfrac{2n-1}{4} (harmônico de ordem n em tubo fechado-aberto), então v=\dfrac{4m}{2n-1} e \sigma_v=\dfrac{4\sigma_m}{2n-1}.
  • Unidade e cuidado prático: certifique-se de que L está em metros e f em hertz (Hz) antes de ajustar; assim x=1/f estará em segundos e m terá unidades de metros×segundo, levando v com unidades \mathrm{m/s}.

Passo 7

Resumo do procedimento prático a executar (passo a passo que você pode reproduzir na prova/laboratório)
  1. Converter todas as medidas para S.I.: L_i em metros, f_i em hertz.
  2. Calcular x_i = 1/f_i e \sigma_{x_i} = I_{f_i}/f_i^{2}.
  3. Usar y_i=L_i e \sigma_{y_i}=I_{L_i}.
  4. Decidir o método:
    • Se \sigma_{x_i} for muito pequeno: faça ajuste linear ponderado com pesos w_i=1/\sigma_{y_i}^{2} (usar fórmulas do Passo 4).
    • Caso contrário: aplicar método de York para tratar incertezas em ambas as coordenadas (procedimento do Passo 5).
  5. Do ajuste, obter m e \sigma_{m}.
  6. Identificar C a partir do tipo de tubo (ou do valor teórico do modo observado).
  7. Calcular v = m/C e \sigma_v = \sigma_m / C.
  8. Verificar \chi_{\nu}^{2}; se diferente de 1, ajustar \sigma_m multiplicando por \sqrt{\chi_{\nu}^{2}} (e consequentemente \sigma_v também).
  9. Apresentar resultado final com unidades: v \pm \sigma_v\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Comentário sobre intercepto e correção de extremidade (dica útil para a prova)
  • O intercepto b do ajuste L = m(1/f) + b geralmente representa uma correção de extremidade (end‑correction) do tubo. Isso não altera a forma de extrair v (que vem do declive), mas é fisicamente interessante e pode ser usado para estimar o comprimento efetivo do tubo além do comprimento geométrico.
  • Não esqueça: o resultado final de v não depende de b; use apenas m e sua incerteza para obter v e \sigma_v.

Passo 9

Exemplo simbólico final (para você checar a fórmula e como escrever a resposta na prova)
  • Se, após o ajuste (usando o método adequado), a cientista encontrou declive m com incerteza \sigma_{m}, então a velocidade e sua incerteza são dadas por
v = \frac{m}{C},\qquad \sigma_v = \frac{\sigma_m}{C},
onde C depende das condições do tubo (por exemplo C=\tfrac{1}{2} para aberto‑aberto e C=\tfrac{1}{4} para fechado‑aberto).
  • Escreva em S.I.: v \pm \sigma_v\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

v=\dfrac{m}{C}\pm\dfrac{\sigma_{m}}{C} (em \mathrm{m/s}), onde m é o declive obtido do ajuste de L versus 1/f e \sigma_{m} sua incerteza.
Para os casos comuns: v=2m\pm2\sigma_{m} (tubo aberto‑aberto) e v=4m\pm4\sigma_{m} (tubo fechado‑aberto).

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