62 Uma onda senoidal transversal que se propaga no sentido positivo de um eixo x tem uma amplitude de 2,0 \mathrm{~cm}, um comprimento de onda de 10 cm e uma frequência de 400 Hz . Se a equaçāo da onda é da forma y(x, t)=y_{m} \operatorname{sen}(k x \pm \omega t), determine (a) y_{m+} (b) k, (c) \omega e (d) o sinal que precede \omega. Qual é (e) a velocidade transversal máxima de um ponto da corda e (f) a velocidade da onda?

Passo 1

O enunciado dá uma onda senoidal transversal que se propaga no sentido positivo do eixo x. Os dados e o que se pede são:
  • Dados: y_m = 2,0\\ \mathrm{cm},
\lambda = 10\\ \mathrm{cm},
f = 400\\ \mathrm{Hz}.
(Estou pegando esses valores diretamente do enunciado.)
  • Perguntas:
    (a) determinar y_m (amplitude) — parece pedir confirmação do valor dado;
    (b) determinar o número de onda k;
    (c) determinar a pulsação \omega;
    (d) determinar qual sinal ( + ou -) precede \omega no argumento \sin(kx\pm\omega t);
    (e) determinar a velocidade transversal máxima de um ponto da corda;
    (f) determinar a velocidade da onda.
A partir daqui vou resolver passo a passo, explicando as fórmulas que uso e o significado de cada variável.

Passo 2

Confirmação da amplitude y_m e conversão de unidades (bom hábito para contas).
  • A amplitude é o valor máximo do deslocamento transverse, dado pelo enunciado: y_m = 2,0\\ \mathrm{cm}.
  • Em unidades SI (metros): y_m = 0,020\\ \mathrm{m}.
Explicação didática: amplitude y_m é simplesmente o valor máximo que y(x,t) atinge (positivo ou negativo). Converter para metros facilita usar fórmulas que assumem SI.

Passo 3

Fórmula para o número de onda k e significado das variáveis.
  • Definição: o número de onda k mede quantas radianas de fase existem por metro; relaciona-se ao comprimento de onda \lambda por k=\frac{2\pi}{\lambda}.Aqui \lambda é o comprimento de onda (distância entre picos sucessivos) e 2\pi aparece porque um comprimento de onda corresponde a 2\pi radianos de fase.
  • Vou usar \lambda em metros para consistência.

Passo 4

Cálculo numérico de k.
  • Converter \lambda: \lambda = 10\\ \mathrm{cm} = 0,10\\ \mathrm{m}.
  • Aplicar a fórmula: k=\frac{2\pi}{0,10\\ \mathrm{m}}=20\pi\\ \mathrm{rad/m}.
  • Valor aproximado (útil para cálculos): k \approx 62,832\\ \mathrm{rad/m}.
Observação didática: usar a forma exata 20\pi é prático em provas, e a aproximação é para interpretação numérica.

Passo 5

Fórmula para a pulsação \omega e significado das variáveis.
  • Definição: \omega é a velocidade angular temporal (pulsação), medida em rad/s; relaciona-se à frequência f por \omega = 2\pi f.Aqui f é a frequência (ciclos por segundo). A razão do 2\pi é a mesma: um ciclo corresponde a 2\pi radianos.

Passo 6

Cálculo numérico de \omega.
  • Aplicar a fórmula com f=400\\ \mathrm{Hz}: \omega = 2\pi\cdot 400 = 800\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Aproximação numérica: \omega \approx 2513,27\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Determinar o sinal que precede \omega no argumento \sin(kx\pm\omega t) a partir do sentido de propagação.
  • Regra prática (explicação didática): para uma onda progressiva senoidal unidimensional, o argumento da função de fase costuma ser \varphi = kx - \omega t quando a onda se propaga no sentido positivo de x. Intuitivamente: manter \varphi constante e resolver para x em função de t x = (\omega/k) t + \text{const}, ou seja, ponto de fase constante desloca-se aumentando x com o tempo — portanto movimento para +x.
  • Como o enunciado diz que a onda se propaga no sentido positivo de x, o sinal correto é o menos: y(x,t)=y_m\sin(kx-\omega t).

Passo 8

Velocidade transversal instantânea de um ponto da corda e expressão geral.
  • A velocidade transversal de um ponto fixo em x é a derivada temporal de y(x,t): v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}.
  • Para y(x,t)=y_m\sin(kx-\omega t), aplicando derivação em relação a t (tratando kx como constante porque x é fixo): v_y(x,t)=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(y_m\sin(kx-\omega t)\bigr)= -y_m\omega\cos(kx-\omega t).Explicação didática da derivada: derivada de \sin(u) em relação a t é \cos(u) vezes \mathrm{d}u/\mathrm{d}t. Aqui u=kx-\omega t e \mathrm{d}u/\mathrm{d}t=-\omega.
  • A velocidade transversal máxima em módulo ocorre quando |\cos(\cdot)|=1, logo: v_{y,\max}=y_m\omega.(Tomamos o valor absoluto porque a expressão com sinal pode ser positiva ou negativa; a máxima velocidade em módulo é o produto y_m\omega.)

Passo 9

Cálculo numérico da velocidade transversal máxima.
  • Usando y_m=0,020\\ \mathrm{m} e \omega\approx 2513,27\\ \mathrm{rad/s}: v_{y,\max}=0,020\cdot 2513,27 \approx 50,265\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: um ponto da corda chega a passar por cerca de 50,3\\ \mathrm{m/s} na sua oscilação máxima — isso pode parecer grande, mas é porque a frequência é alta.

Passo 10

Velocidade da onda (velocidade de propagação) e cálculo numérico.
  • Relação entre velocidade de propagação v, frequência f e comprimento de onda \lambda: v=\lambda f.Explicação didática: em cada segundo a onda completa f ciclos, e cada ciclo avança uma distância \lambda; multiplicando obtemos a velocidade de propagação.
  • Aplicando com \lambda=0,10\\ \mathrm{m} e f=400\\ \mathrm{Hz}: v=0,10\cdot 400 = 40\\ \mathrm{m/s}.

Passo 11

Escrevo a forma final da equação da onda (útil para conferir tudo junto).
  • A equação completa, com os valores encontrados, é y(x,t)=0,020\sin\bigl(20\pi\,x - 800\pi\,t\bigr)onde x está em metros e t em segundos. Aqui usei as formas exatas 20\pi para k e 800\pi para \omega.

Resposta

(a) y_m=2,0\\ \mathrm{cm}=0,020\\ \mathrm{m}
(b) k= \dfrac{2\pi}{\lambda}=20\pi\\ \mathrm{rad/m}\approx 62,832\\ \mathrm{rad/m}
(c) \omega=2\pi f=800\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 2513,27\\ \mathrm{rad/s}
(d) sinal: - (a onda é y(x,t)=y_m\sin(kx-\omega t))
(e) v_{y,\max}=y_m\omega=0,020\cdot 2513,27\approx 50,265\\ \mathrm{m/s}
(f) v=\lambda f=0,10\cdot 400=40\\ \mathrm{m/s}

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