62 Uma onda senoidal transversal que se propaga no sentido positivo de um eixo
tem uma amplitude de
, um comprimento de onda de 10 cm e uma frequência de 400 Hz . Se a equaçāo da onda é da forma
, determine (a)
(b)
, (c)
e (d) o sinal que precede
. Qual é (e) a velocidade transversal máxima de um ponto da corda e (f) a velocidade da onda?
Passo 1
O enunciado dá uma onda senoidal transversal que se propaga no sentido positivo do eixo
. Os dados e o que se pede são:
- Dados:
(Estou pegando esses valores diretamente do enunciado.)
- Perguntas:
(a) determinar(amplitude) — parece pedir confirmação do valor dado;
(b) determinar o número de onda;
(c) determinar a pulsação;
(d) determinar qual sinal (ou ) precede no argumento ;
(e) determinar a velocidade transversal máxima de um ponto da corda;
(f) determinar a velocidade da onda.
A partir daqui vou resolver passo a passo, explicando as fórmulas que uso e o significado de cada variável.
Passo 2
Confirmação da amplitude
e conversão de unidades (bom hábito para contas).
- A amplitude é o valor máximo do deslocamento transverse, dado pelo enunciado:
- Em unidades SI (metros):
Explicação didática: amplitude
é simplesmente o valor máximo que
atinge (positivo ou negativo). Converter para metros facilita usar fórmulas que assumem SI.
Passo 3
Fórmula para o número de onda
e significado das variáveis.
- Definição: o número de onda
mede quantas radianas de fase existem por metro; relaciona-se ao comprimento de onda por Aqui é o comprimento de onda (distância entre picos sucessivos) e aparece porque um comprimento de onda corresponde a radianos de fase. - Vou usar
em metros para consistência.
Passo 4
Cálculo numérico de
.
- Converter
: - Aplicar a fórmula:
- Valor aproximado (útil para cálculos):
Observação didática: usar a forma exata
é prático em provas, e a aproximação é para interpretação numérica.
Passo 5
Fórmula para a pulsação
e significado das variáveis.
- Definição:
é a velocidade angular temporal (pulsação), medida em rad/s; relaciona-se à frequência por Aqui é a frequência (ciclos por segundo). A razão do é a mesma: um ciclo corresponde a radianos.
Passo 6
Cálculo numérico de
.
- Aplicar a fórmula com
: - Aproximação numérica:
Passo 7
Determinar o sinal que precede
no argumento
a partir do sentido de propagação.
- Regra prática (explicação didática): para uma onda progressiva senoidal unidimensional, o argumento da função de fase costuma ser
quando a onda se propaga no sentido positivo de . Intuitivamente: manter constante e resolver para em função de dá , ou seja, ponto de fase constante desloca-se aumentando com o tempo — portanto movimento para . - Como o enunciado diz que a onda se propaga no sentido positivo de
, o sinal correto é o menos:
Passo 8
Velocidade transversal instantânea de um ponto da corda e expressão geral.
- A velocidade transversal de um ponto fixo em
é a derivada temporal de : - Para
, aplicando derivação em relação a (tratando como constante porque é fixo): Explicação didática da derivada: derivada de em relação a é vezes . Aqui e . - A velocidade transversal máxima em módulo ocorre quando
, logo: (Tomamos o valor absoluto porque a expressão com sinal pode ser positiva ou negativa; a máxima velocidade em módulo é o produto .)
Passo 9
Cálculo numérico da velocidade transversal máxima.
- Usando
e : - Interpretação: um ponto da corda chega a passar por cerca de
na sua oscilação máxima — isso pode parecer grande, mas é porque a frequência é alta.
Passo 10
Velocidade da onda (velocidade de propagação) e cálculo numérico.
- Relação entre velocidade de propagação
, frequência e comprimento de onda : Explicação didática: em cada segundo a onda completa ciclos, e cada ciclo avança uma distância ; multiplicando obtemos a velocidade de propagação. - Aplicando com
e :
Passo 11
Escrevo a forma final da equação da onda (útil para conferir tudo junto).
- A equação completa, com os valores encontrados, é
onde está em metros e em segundos. Aqui usei as formas exatas para e para .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) sinal: (a onda é
)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d) sinal:
(e)
(f)