Dois moles de gás hélio possui uma energia cinética média de translação, por molécula, que vale \mathrm{K}=6,07 \times 10^{-21} \mathrm{~J}, numa temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. O gás é então aquecido até 40 { }^{\circ} C. Pergunta-se: a energia cinética dobrará de valor? Justifique sua respota. Resposta: Não dobra.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo:
  • Informação: duas moles de gás hélio têm energia cinética média de translação, por molécula, igual a \mathrm{K}=6,07\times10^{-21}\\ \mathrm{J} quando a temperatura é 20^\circ\mathrm{C}.
  • Informação: o gás é aquecido até 40^\circ\mathrm{C}.
  • Pergunta: a energia cinética por molécula dobrará de valor ao passar de 20^\circ\mathrm{C} para 40^\circ\mathrm{C}? Você deve justificar a resposta.

Passo 2

Princípio físico / fórmula que usamos (explicado passo a passo):
\langle K\rangle = \frac{3}{2}\,k\,T
  • Aqui \langle K\rangle é a energia cinética média de translação por molécula (unidade: joule, \mathrm{J}).
  • k é a constante de Boltzmann (unidade: \mathrm{J/K}). O valor é \displaystyle k=1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
  • T é a temperatura absoluta em kelvin (unidade: \mathrm{K}).
    Comentário didático: essa fórmula significa que, para um gás monoatômico ideal, a energia cinética média por molécula é diretamente proporcional à temperatura absoluta T. Ou seja, se T aumenta em certo fator, \langle K\rangle aumenta pelo mesmo fator.

Passo 3

Converter temperaturas de graus Celsius para kelvin (explicando por quê):
  • A escala usada na fórmula é a escala absoluta (kelvin). A relação é
T(\mathrm{K}) = t(^{\circ}\mathrm{C}) + 273{,}15.
  • Para 20^\circ\mathrm{C}:
T_1 = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Para 40^\circ\mathrm{C}:
T_2 = 40 + 273{,}15 = 313{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Relação entre as energias nos dois estados (razão direta):
Como \langle K\rangle é proporcional a T, temos
\frac{\langle K_2\rangle}{\langle K_1\rangle} = \frac{T_2}{T_1}.
Aqui \langle K_1\rangle é o valor inicial dado \langle K_1\rangle = 6,07\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular a razão \dfrac{T_2}{T_1} numericamente:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{313{,}15}{293{,}15}\approx 1{,}06825.
Interpretação: a temperatura absoluta aumentou cerca de 6{,}825\%; portanto a energia média também aumentará cerca de 6{,}825\%, não dobrando.

Passo 6

Calcular a nova energia média por molécula \langle K_2\rangle:
\langle K_2\rangle = \langle K_1\rangle\frac{T_2}{T_1} = 6{,}07\times10^{-21}\cdot\frac{313{,}15}{293{,}15} \approx 6{,}49\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Explanação: aqui apenas multipliquei o valor inicial pelo fator de aumento da temperatura absoluta.

Passo 7

Comparação com o dobro:
  • O dobro de \langle K_1\rangle seria
2\langle K_1\rangle = 2\cdot 6{,}07\times10^{-21} = 1{,}214\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
  • Como \langle K_2\rangle \approx 6{,}49\times10^{-21}\\ \mathrm{J}, vemos que \langle K_2\rangle está muito longe de 2\langle K_1\rangle. Numericamente, \langle K_2\rangle/\langle K_1\rangle\approx1{,}068, ou seja, aumento de cerca de 6{,}8\%, não 100\%.

Resposta

Não dobra.

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