Uma tensão senoidal tem frequência 60 Hz e \mathrm{V}_{\mathrm{EF}}=110 \mathrm{v}, pede-se:
a) período e frequência angular
b) expressão matemática
c) valor da potência dissipada em uma resistência de 100 \Omega.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo extraído do enunciado, sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    • frequência: \,f=60\\ \text{Hz}.
    • tensão eficaz (RMS): \,V_{\mathrm{EF}}=110\\ \text{V}.
    • resistência: \,R=100\\ \Omega.
  • Perguntas:
    a) Calcular o período e a frequência angular.
    b) Escrever a expressão matemática da tensão senoidal no tempo.
    c) Calcular a potência média (dissipada) na resistência de 100\\ \Omega.

Passo 2

Calcular o período \,T e a frequência angular \,\omega. Vou explicar as fórmulas usadas e o que cada variável significa.
  • O período \,T é o tempo de um ciclo completo da onda. A relação entre período e frequência é:
T=\frac{1}{f},
onde \,f é a frequência em hertz (Hz) e \,T fica em segundos (s).
  • A frequência angular \,\omega mede quantos radianos a fase da senóide varia por segundo. A relação é:
\omega=2\pi f,
onde \pi é a constante (aprox. 3{,}14159) e \omega tem unidade \text{rad/s}.
Aplicando com \,f=60\\ \text{Hz}:
T=\frac{1}{60}\approx0,01667\\ \text{s}=16,67\\ \text{ms},
\omega=2\pi\cdot60=120\pi\approx376{,}99\\ \text{rad/s}.
Explicação rápida do porquê: cada volta completa corresponde a 2\pi radianos; com 60 voltas por segundo a taxa é 60\cdot2\pi.

Passo 3

Determinar a amplitude (valor de pico) da tensão a partir do valor eficaz e explicar a relação RMS ↔ pico.
  • Definição prática de tensão eficaz (RMS): \,V_{\mathrm{EF}} é o valor que, quando aplicado a uma resistência pura, produz a mesma potência média que uma tensão contínua desse mesmo valor. Matematicamente, para uma tensão periódica v(t),
V_{\mathrm{EF}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T} v^{2}(t)\,dt}.
  • Para uma senóide pura v(t)=V_p\sin(\omega t+\varphi) (onde \,V_p é a amplitude de pico e \varphi a fase inicial) tem-se a relação bem conhecida:
V_{\mathrm{EF}}=\frac{V_p}{\sqrt{2}}.
Derivação curta: \sin^2 tem valor médio 1/2 no período, então a média de V_p^2\sin^2 é V_p^2/2; a raiz dá V_p/\sqrt{2}.
  • Logo, a amplitude é
V_p=V_{\mathrm{EF}}\sqrt{2}=110\sqrt{2}\\ \text{V}\approx155{,}56\\ \text{V}.

Passo 4

Escolher a forma da expressão matemática da tensão e justificar a escolha da fase.
  • Uma tensão senoidal pode ser escrita em geral como
v(t)=V_p\sin(\omega t+\varphi),
onde:
  • \,v(t) é a tensão instantânea em volts (V),
  • \,V_p é a amplitude (pico) em volts,
  • \,\omega é a frequência angular em \text{rad/s},
  • \,\varphi é a fase inicial em radianos,
  • \,t é o tempo em segundos.
  • O enunciado não dá informação sobre a fase inicial, então a escolha mais comum e simples para escrever a expressão é tomar \varphi=0. Isso não altera os valores de período, amplitude ou potência média; apenas fixa onde começa o ciclo no tempo t=0.
  • Substituindo os valores:
v(t)=110\sqrt{2}\,\sin(120\pi\,t)\\ \text{V}.
Observação: também poderia usar cosseno (equivalente com mudança de fase), mas sin com fase zero é totalmente aceitável e simples.

Passo 5

Calcular a potência média dissipada na resistência R e explicar por que usamos o valor eficaz.
  • A potência instantânea dissipada em uma resistência R é
p(t)=\frac{v^{2}(t)}{R}.
A potência média (média temporal sobre um período) é
P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T} p(t)\,dt=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\frac{v^{2}(t)}{R}\,dt=\frac{1}{R}\cdot\frac{1}{T}\int_{0}^{T}v^{2}(t)\,dt.
  • Usando a definição de V_{\mathrm{EF}} (RMS), tem‑se
\frac{1}{T}\int_{0}^{T}v^{2}(t)\,dt=V_{\mathrm{EF}}^{2}.
Portanto a potência média é simplesmente
P=\frac{V_{\mathrm{EF}}^{2}}{R}.
  • Alternativamente, substituindo V_{\mathrm{EF}}=V_p/\sqrt{2} obtém-se
P=\frac{V_p^{2}}{2R},
que é a mesma coisa reescrita.

Passo 6

Cálculo numérico da potência com os valores dados.
  • Substituindo V_{\mathrm{EF}}=110\\ \text{V} e R=100\\ \Omega:
P=\frac{110^{2}}{100}=\frac{12100}{100}=121\\ \text{W}.
Interpretação intuitiva: uma tensão eficaz de 110\\ \text{V} aplicada a 100\\ \Omega entrega em média 121\\ \text{W} de potência térmica na resistência.

Resposta

a) T=\dfrac{1}{60}\approx0,01667\\ \text{s}=16,67\\ \text{ms} \qquad \omega=2\pi\cdot60=120\pi\approx376{,}99\\ \text{rad/s}
b) v(t)=110\sqrt{2}\,\sin(120\pi\,t)\\ \text{V}
c) P=\dfrac{110^{2}}{100}=121\\ \text{W}

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