Uma tensão senoidal tem frequência 60 Hz e
, pede-se:
a) período e frequência angular
b) expressão matemática
c) valor da potência dissipada em uma resistência de
.
a) período e frequência angular
b) expressão matemática
c) valor da potência dissipada em uma resistência de
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo extraído do enunciado, sem resolver ainda):
- Dados fornecidos:
- frequência:
. - tensão eficaz (RMS):
. - resistência:
.
- frequência:
- Perguntas:
a) Calcular o período e a frequência angular.
b) Escrever a expressão matemática da tensão senoidal no tempo.
c) Calcular a potência média (dissipada) na resistência de.
Passo 2
Calcular o período
e a frequência angular
. Vou explicar as fórmulas usadas e o que cada variável significa.
- O período
é o tempo de um ciclo completo da onda. A relação entre período e frequência é:
onde
é a frequência em hertz (Hz) e
fica em segundos (s).
- A frequência angular
mede quantos radianos a fase da senóide varia por segundo. A relação é:
onde
é a constante (aprox.
) e
tem unidade
.
Aplicando com
:
Explicação rápida do porquê: cada volta completa corresponde a
radianos; com
voltas por segundo a taxa é
.
Passo 3
Determinar a amplitude (valor de pico) da tensão a partir do valor eficaz e explicar a relação RMS ↔ pico.
- Definição prática de tensão eficaz (RMS):
é o valor que, quando aplicado a uma resistência pura, produz a mesma potência média que uma tensão contínua desse mesmo valor. Matematicamente, para uma tensão periódica ,
- Para uma senóide pura
(onde é a amplitude de pico e a fase inicial) tem-se a relação bem conhecida:
Derivação curta:
tem valor médio
no período, então a média de
é
; a raiz dá
.
- Logo, a amplitude é
Passo 4
Escolher a forma da expressão matemática da tensão e justificar a escolha da fase.
- Uma tensão senoidal pode ser escrita em geral como
onde:
-
é a tensão instantânea em volts (V), -
é a amplitude (pico) em volts, -
é a frequência angular em , -
é a fase inicial em radianos, -
é o tempo em segundos. -
O enunciado não dá informação sobre a fase inicial, então a escolha mais comum e simples para escrever a expressão é tomar
. Isso não altera os valores de período, amplitude ou potência média; apenas fixa onde começa o ciclo no tempo . -
Substituindo os valores:
Observação: também poderia usar cosseno (equivalente com mudança de fase), mas sin com fase zero é totalmente aceitável e simples.
Passo 5
Calcular a potência média dissipada na resistência
e explicar por que usamos o valor eficaz.
- A potência instantânea dissipada em uma resistência
é
A potência média (média temporal sobre um período) é
- Usando a definição de
(RMS), tem‑se
Portanto a potência média é simplesmente
- Alternativamente, substituindo
obtém-se
que é a mesma coisa reescrita.
Passo 6
Cálculo numérico da potência com os valores dados.
- Substituindo
e :
Interpretação intuitiva: uma tensão eficaz de
aplicada a
entrega em média
de potência térmica na resistência.
Resposta
a)
b)
c)