Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 1raiz[8]n

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Integral para estudar a série sumn=1^infty1raiz[8]n. O conteúdo envolve séries de termos positivos e o Teste da Integral, que compara a soma sum an com a integral imprópria de uma função f(x) associada.

Passo 2

Definimos a função f(x)=x^-1/8 para x>=1. Precisamos verificar que f(x) é contínua, positiva e (eventualmente) decrescente em [1,infty). Calculando a derivada:
f'(x)= -tfrac18x^-9/8, que é negativa para x>0. Logo, f(x) é decrescente e satisfaz as hipóteses do Teste da Integral.

Passo 3

Aplicamos então o Teste da Integral, estudando a integral imprópria:
integral1^inftyx^-1/8,dx Para calcular, usamos a regra de potências:
integral x^-1/8,dx=x^1-1/81-1/8+C=87x^7/8+C

Passo 4

Avaliando de 1 até R e fazendo Rtoinfty, temos:
limRtoinfty87R^7/8-87cdot1^7/8=infty Como a integral diverge, o Teste da Integral nos diz que a série sumn=1^inftyn^-1/8 também diverge.

Resposta

A série é divergente pelo Teste da Integral.

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