1. Dadas f(x)=x^{2}+1 e g(x)=\sqrt{ } x+2, calcule (g \circ f)(3) e verifique domínio.

Passo 1

O enunciado dá duas funções f(x)=x^{2}+1 e g(x)=\sqrt{x+2}
e pede para calcular (g\circ f)(3) e verificar o domínio de g\circ f.
Aqui vamos usar o conceito de composição de funções e as restrições de domínio de cada função.

Passo 2

Primeiro calculamos f(3):
f(3)=3^{2}+1=9+1=10.
Em seguida aplicamos g sobre esse valor:
g\bigl(f(3)\bigr)=g(10)=\sqrt{10+2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.

Passo 3

Agora verificamos o domínio de g\circ f.
O domínio de f é todo \mathbb{R}.
O domínio de g exige
x+2\ge0\quad\Longrightarrow\quad x\ge-2.
Para (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr) precisamos que f(x) caia no domínio de g, ou seja
f(x)=x^{2}+1\ge-2.
Mas x^{2}+1\ge1 para todo x\in\mathbb{R}, logo sempre vale x^{2}+1\ge-2.
Portanto não há restrição extra além de x\in\mathbb{R}.

Resposta

(g\circ f)(3)=2\sqrt{3},
Domínio de g\circ f: \mathbb{R}.

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