1. Resolva f(x)=|2 x-5|+|x+1|=6.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
|2x - 5| \;+\; |x + 1| \;=\; 6
Esse tipo de equação envolve valores absolutos, então vamos estudar os pontos onde os argumentos mudam de sinal, isto é, em 2x-5=0 e em x+1=0.

Passo 2

Identificamos os pontos de quebra:
2x - 5 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac52, \qquad x + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; x = -1.
Com isso consideramos três intervalos para x:
  1. x < -1,
  2. -1 \le x < \tfrac52,
  3. x \ge \tfrac52.

Passo 3

No intervalo x < -1, temos 2x-5<0 e x+1<0. Logo
|2x-5| = 5 - 2x, \qquad |x+1| = -x - 1.
A equação vira
(5 - 2x) + (-x - 1) = 6 \;\Longrightarrow\; 4 - 3x = 6 \;\Longrightarrow\; -3x = 2 \;\Longrightarrow\; x = -\tfrac23,
que não pertence a x < -1. Portanto não há solução neste caso.

Passo 4

No intervalo -1 \le x < \tfrac52, temos 2x-5<0 e x+1\ge0. Então
|2x-5| = 5 - 2x, \qquad |x+1| = x + 1,
e a equação fica
(5 - 2x) + (x + 1) = 6 \;\Longrightarrow\; 6 - x = 6 \;\Longrightarrow\; x = 0.
Como 0 está em [-1,\tfrac52), esta é uma solução válida.

Passo 5

No intervalo x \ge \tfrac52, temos 2x-5\ge0 e x+1\ge0. Logo
|2x-5| = 2x - 5, \qquad |x+1| = x + 1,
e a equação se reduz a
(2x - 5) + (x + 1) = 6 \;\Longrightarrow\; 3x - 4 = 6 \;\Longrightarrow\; 3x = 10 \;\Longrightarrow\; x = \tfrac{10}{3}.
Como \tfrac{10}{3}\approx3{,}33\ge2{,}5, essa solução também vale.

Resposta

As soluções da equação são
x = 0 \quad\text{e}\quad x = \tfrac{10}{3}.

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