1. Encontre f^{-1}(x) para f(x)=(3 x-2) /(x+1).

Passo 1

Estamos com a função
f(x)=\frac{3x-2}{x+1}
e queremos encontrar f^{-1}(x). O conteúdo aqui é inversão de função racional: vamos definir y=f(x), resolver para x em termos de y e depois trocar os papéis de x e y.

Passo 2

Definimos
y = \frac{3x - 2}{x + 1}
e o objetivo é isolar x nessa equação.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x+1) e recolhemos os termos com x:
y(x + 1) = 3x - 2
yx + y = 3x - 2
yx - 3x = -2 - y
x(y - 3) = -(2 + y)
x = \frac{-(2 + y)}{y - 3} = \frac{2 + y}{3 - y}.

Passo 4

Agora, trocando y por x para escrever a inversa, obtemos
f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{3 - x},
com a ressalva de que x \neq 3 (para não zerar o denominador).

Resposta

f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{3 - x},\quad x \neq 3.

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