1. Resolva a inequação racional: (2 x-3) /(x+2)<1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{2x-3}{x+2} < 1.
O conteúdo aqui envolve manipular expressões racionais, unificar em um único quociente e estudar o sinal do numerador e do denominador. Precisamos também considerar o domínio, isto é, excluir valores que anulem o denominador.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio: não podemos ter x+2=0, logo
x \neq -2.
Em seguida, subtraímos 1 de ambos os lados para obter um só quociente:
\frac{2x-3}{x+2} - 1 < 0.
Para unificar em um único denominador fazemos
\frac{2x-3}{x+2} - \frac{x+2}{x+2} = \frac{2x - 3 - (x+2)}{x+2} = \frac{x - 5}{x+2} < 0.

Passo 3

Agora temos a inequação equivalente
\frac{x - 5}{x+2} < 0.
Os pontos críticos são onde o numerador ou o denominador se anulam:
x-5=0 \implies x=5, \qquad x+2=0 \implies x=-2.
Esses valores particionam a reta em três intervalos: (-\infty,-2), (-2,5) e (5,\infty).

Passo 4

Estudamos o sinal de \frac{x-5}{x+2} em cada intervalo:
  • Para x<-2, escolha x=-3:
\frac{-3-5}{-3+2}=\frac{-8}{-1}=8>0.
  • Para -2<x<5, escolha x=0:
\frac{0-5}{0+2}=\frac{-5}{2}<0.
  • Para x>5, escolha x=6:
\frac{6-5}{6+2}=\frac{1}{8}>0.
Queremos onde o quociente é negativo, isto é, no intervalo (-2,5).

Resposta

(-2,5)

Exercícios relacionados