Dadas
e
, determine:
(a)
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Nesse exercício vamos trabalhar com composição de funções, usando f(x)=e^{x} e g(x)=\ln(x+1). O conteúdo é composição de funções e vamos precisar lembrar da propriedade e^{\ln(a)}=a para a>0.
Passo 2
Para calcular (f\circ g)(x) fazemos f(g(x)). Primeiro substituímos g(x) dentro de f:
Agora usamos a propriedade da exponencial e do logaritmo. Como e^{\ln(a)}=a, obtemos:
Observação de domínio: g(x)=\ln(x+1) exige x+1>0, ou seja x>-1. Portanto (f\circ g)(x)=x+1 com domínio x>-1.
Passo 3
Para calcular (g\circ f)(x) fazemos g(f(x)). Substituímos f(x) dentro de g:
Aqui não há simplificação algébrica adicional, mas podemos checar o domínio: e^{x}>0 sempre, então e^{x}+1>1>0 e o logaritmo está bem definido para todo x real. Portanto o domínio é \mathbb{R}.
Resposta
(f\circ g)(x)=x+1, x>-1; (g\circ f)(x)=\ln(e^{x}+1), x\in\mathbb{R}.