Dadas f(x)=e^x e g(x)=ln (x+1), determine:
(a) (f circ g)(x)
(b) (g circ f)(x).

Passo 1

Nesse exercício vamos trabalhar com composição de funções, usando f(x)=e^{x} e g(x)=\ln(x+1). O conteúdo é composição de funções e vamos precisar lembrar da propriedade e^{\ln(a)}=a para a>0.

Passo 2

Para calcular (f\circ g)(x) fazemos f(g(x)). Primeiro substituímos g(x) dentro de f:
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=e^ln(x+1)
Agora usamos a propriedade da exponencial e do logaritmo. Como e^{\ln(a)}=a, obtemos:
(fcirc g)(x)=x+1
Observação de domínio: g(x)=\ln(x+1) exige x+1>0, ou seja x>-1. Portanto (f\circ g)(x)=x+1 com domínio x>-1.

Passo 3

Para calcular (g\circ f)(x) fazemos g(f(x)). Substituímos f(x) dentro de g:
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=lnl(e^x+1r)
Aqui não há simplificação algébrica adicional, mas podemos checar o domínio: e^{x}>0 sempre, então e^{x}+1>1>0 e o logaritmo está bem definido para todo x real. Portanto o domínio é \mathbb{R}.

Resposta

(f\circ g)(x)=x+1, x>-1; (g\circ f)(x)=\ln(e^{x}+1), x\in\mathbb{R}.

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