Resolva cada inequação abaixo:
(a) ln (x)<0
(b) e^x>5
© 1
(d) 1-2 ln (x)<3.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos quatro inequações que envolvem logaritmo natural e exponencial. Precisamos usar o domínio e a monotonicidade dessas funções para isolar x em cada caso.

Passo 2

Teoria principal: a função ln(x) é crescente no domínio (0,infty), e a função e^x é crescente em R. Isso significa que, ao aplicar ln ou e^,cdot em ambos os lados de uma inequação, o sentido da desigualdade se mantém (desde que respeitado o domínio).

Passo 3

Para (a) ln(x)<0: como ln(1)=0 e ln é crescente, ter ln(x)<0 equivale a x<1. E pelo domínio do logaritmo natural, x>0. Assim, 0.

Passo 4

Para (b) e^x>5: sendo e^x crescente, basta aplicar ln nos dois lados: x>ln(5).

Passo 5

Para © 1: aplicando ln em cada parte, temos ln(1)<3x-1. Como ln(1)=0, isso vira 0<3x-1. Somando 1 em toda a desigualdade: 1<3x<1+ln(2). Finalmente, dividindo por 3: tfrac13.

Passo 6

Para (d) 1-2ln(x)<3: primeiro subtrai-se 1 de ambos os lados, ficando -2ln(x)<2. Dividindo por -2 (inverte o sinal): ln(x)>-1. Aplicando exponencial: x>e^-1.

Resposta

(a) 0
(b) x>ln(5)
© tfrac13
(d) x>e^-1

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