Dadas as funções f(x)=4 x-3, g(x)=x^2+1 e h(x)=1x-5, determine
a) (f circ g circ h)(x)
b) (g circ h circ f)(x)
c) (h circ f circ g)(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você tem três funções:
  • $ f(x) = 4x - 3 $
  • $ g(x) = x^{2} + 1 $
  • $ h(x) = \frac{1}{x - 5} $
E precisa encontrar as composições das funções nas formas:
a) $ (f \circ g \circ h)(x) $
b) $ (g \circ h \circ f)(x) $
c) $ (h \circ f \circ g)(x) $
Para isso, vamos usar o conceito de composição de funções, que basicamente significa aplicar uma função dentro da outra. Vamos passo a passo para entender bem como fazer isso!

Passo 2

Vamos começar com a parte a) $ (f \circ g \circ h)(x) $.
Primeiro, entendemos que $ (f \circ g \circ h)(x) $ significa $ f(g(h(x))) $. Ou seja, primeiro aplicamos $ h $ em $ x $, depois aplicamos $ g $ no resultado, e por último aplicamos $ f $ no resultado de $ g $.
Passo a passo:
  1. Aplicar $ h(x) $: (f circ g circ h)(x)
  2. Aplicar $ g $ no resultado de $ h(x) $: (f circ g circ h)(x)
  3. Aplicar $ f $ no resultado de $ g(h(x)) $: f(g(h(x)))

Passo 3

Agora, vamos para a parte b) $ (g \circ h \circ f)(x) $.
Aqui, $ (g \circ h \circ f)(x) $ significa $ g(h(f(x))) $. Então, primeiro aplicamos $ f $, depois $ h $ no resultado, e por fim $ g $ no resultado de $ h(f(x)) $.
Passo a passo:
  1. Aplicar $ f(x) $: (g circ h circ f)(x)
  2. Aplicar $ h $ no resultado de $ f(x) $: (g circ h circ f)(x)
  3. Aplicar $ g $ no resultado de $ h(f(x)) $: g(h(f(x)))

Passo 4

Por fim, vamos resolver a parte c) $ (h \circ f \circ g)(x) $.
Aqui, $ (h \circ f \circ g)(x) $ significa $ h(f(g(x))) $. Então, primeiro aplicamos $ g $, depois $ f $ no resultado, e por fim $ h $ no resultado de $ f(g(x)) $.
Passo a passo:
  1. Aplicar $ g(x) $: (h circ f circ g)(x)
  2. Aplicar $ f $ no resultado de $ g(x) $: (h circ f circ g)(x)
  3. Aplicar $ h $ no resultado de $ f(g(x)) $: h(f(g(x)))

Resposta

a) $ (f \circ g \circ h)(x) = \frac{4}{(x - 5)^{2}} + 1 $
b) $ (g \circ h \circ f)(x) = \frac{1}{16(x - 2)^{2}} + 1 $
c) $ (h \circ f \circ g)(x) = \frac{1}{4(x - 1)(x + 1)} $

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