Dadas as funções
e
, determine
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você tem três funções:
- $ f(x) = 4x - 3 $
- $ g(x) = x^{2} + 1 $
- $ h(x) = \frac{1}{x - 5} $
E precisa encontrar as composições das funções nas formas:
a) $ (f \circ g \circ h)(x) $
b) $ (g \circ h \circ f)(x) $
c) $ (h \circ f \circ g)(x) $
Para isso, vamos usar o conceito de composição de funções, que basicamente significa aplicar uma função dentro da outra. Vamos passo a passo para entender bem como fazer isso!
Passo 2
Vamos começar com a parte a) $ (f \circ g \circ h)(x) $.
Primeiro, entendemos que $ (f \circ g \circ h)(x) $ significa $ f(g(h(x))) $. Ou seja, primeiro aplicamos $ h $ em $ x $, depois aplicamos $ g $ no resultado, e por último aplicamos $ f $ no resultado de $ g $.
Passo a passo:
- Aplicar $ h(x) $:
- Aplicar $ g $ no resultado de $ h(x) $:
- Aplicar $ f $ no resultado de $ g(h(x)) $:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b) $ (g \circ h \circ f)(x) $.
Aqui, $ (g \circ h \circ f)(x) $ significa $ g(h(f(x))) $. Então, primeiro aplicamos $ f $, depois $ h $ no resultado, e por fim $ g $ no resultado de $ h(f(x)) $.
Passo a passo:
- Aplicar $ f(x) $:
- Aplicar $ h $ no resultado de $ f(x) $:
- Aplicar $ g $ no resultado de $ h(f(x)) $:
Passo 4
Por fim, vamos resolver a parte c) $ (h \circ f \circ g)(x) $.
Aqui, $ (h \circ f \circ g)(x) $ significa $ h(f(g(x))) $. Então, primeiro aplicamos $ g $, depois $ f $ no resultado, e por fim $ h $ no resultado de $ f(g(x)) $.
Passo a passo:
- Aplicar $ g(x) $:
- Aplicar $ f $ no resultado de $ g(x) $:
- Aplicar $ h $ no resultado de $ f(g(x)) $:
Resposta
a) $ (f \circ g \circ h)(x) = \frac{4}{(x - 5)^{2}} + 1 $
b) $ (g \circ h \circ f)(x) = \frac{1}{16(x - 2)^{2}} + 1 $
c) $ (h \circ f \circ g)(x) = \frac{1}{4(x - 1)(x + 1)} $