Use o teorema de divergência para calcular
, com
, e
,
, com
a normal exterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de fluxo
usando o teorema da divergência. A função vetorial dada é
, e o caminho
é uma circunferência unitária parametrizada por
para
. Vamos precisar entender o que é o teorema da divergência e como aplicá-lo nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teorema da divergência. Esse teorema relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através da fronteira de uma região com a integral dupla da divergência desse campo sobre toda a região. Em termos matemáticos, se temos uma região
com fronteira
, então:
Aqui,
é a divergência de
,
é o vetor normal externo à fronteira, e
é o elemento de área da região
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial em duas dimensões
é dada por:
No nosso caso,
e
. Então:
Passo 4
Agora que temos a divergência, podemos usar o teorema da divergência para converter a integral de fluxo em uma integral dupla sobre a região
. A região
é o interior da circunferência unitária dada por
.
Passo 5
Vamos calcular a integral dupla. Já que a região
é uma circunferência unitária, é conveniente usar coordenadas polares para simplificar o cálculo. Em coordenadas polares, o elemento de área
é dado por
. Mas como a integral da divergência é constante (
), podemos calcular a área da região e multiplicar por
.
A área de uma circunferência de raio
é
. Portanto:
Resposta
A integral de fluxo é
.