Use o teorema de divergência para calcular integralgamma F cdot n d s, com F(x, y)=x i+y j, e gamma(t)=(cos (t), sen(t)), 0 <= t <= 2 pi, com n a normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral de fluxo integralgamma F cdot n , ds usando o teorema da divergência. A função vetorial dada é F(x, y) = x i + y j, e o caminho gamma(t) é uma circunferência unitária parametrizada por (cos(t), sin(t)) para 0 <= t <= 2pi. Vamos precisar entender o que é o teorema da divergência e como aplicá-lo nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teorema da divergência. Esse teorema relaciona a integral de fluxo de um campo vetorial através da fronteira de uma região com a integral dupla da divergência desse campo sobre toda a região. Em termos matemáticos, se temos uma região D com fronteira gamma, então:
integralgamma F cdot n , ds = integral duplaD (nabla cdot F) , dA
Aqui, nabla cdot F é a divergência de F, n é o vetor normal externo à fronteira, e dA é o elemento de área da região D.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial em duas dimensões F = P i + Q j é dada por:
nabla cdot F = partial Ppartial x + partial Qpartial y
No nosso caso, P = x e Q = y. Então:
nabla cdot F = partial xpartial x + partial ypartial y = 1 + 1 = 2

Passo 4

Agora que temos a divergência, podemos usar o teorema da divergência para converter a integral de fluxo em uma integral dupla sobre a região D. A região D é o interior da circunferência unitária dada por gamma(t) = (cos(t), sin(t)).
integralgamma F cdot n , ds = integral duplaD 2 , dA

Passo 5

Vamos calcular a integral dupla. Já que a região D é uma circunferência unitária, é conveniente usar coordenadas polares para simplificar o cálculo. Em coordenadas polares, o elemento de área dA é dado por r , dr , dtheta. Mas como a integral da divergência é constante ( 2), podemos calcular a área da região e multiplicar por 2.
A área de uma circunferência de raio 1 é pi r^2 = pi (1)^2 = pi. Portanto:
integral duplaD 2 , dA = 2 times pi = 2pi

Resposta

A integral de fluxo é 2pi.

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