2-Dadas as funções f(x)=2+x^2, g(x)=1-x e h(x)=raiz3-x. Escreva função R(x) na forma mais simples e defina o domínio de R(x). Sendo
a) R(x)=ln ln [f(x) cdot g(x)^-12]-[h(x)]^-1
b) Escreva a função inversa de f(x), de modo que ela exista.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=2+x^2, g(x)=1-x, h(x)=raiz3-x
e pede em (a) simplificar
R(x)=lnlnl[f(x),g(x)^-tfrac12r];-;[h(x)]^-1
e determinar seu domínio; em (b) exibir a inversa de f, após restringi-la para que seja bijetora.

Passo 2

Vamos primeiro simplificar a parte interna de R(x). Como
g(x)^-tfrac12=(1-x)^-tfrac12=1raiz1-x,
temos
f(x),g(x)^-tfrac12 =l(2+x^2r),1raiz1-x =2+x^2raiz1-x
Logo
R(x) =ln!l(ln!l(tfrac2+x^2raiz1-xr)r) ;-;1raiz3-x

Passo 3

Agora impomos as condições de existência de cada parte:
  1. raiz1-x no denominador obriga 1-x>0, ou seja
    x<1
  2. A função ln interna exige
    2+x^2raiz1-x>0,
    mas como 2+x^2>0 sempre e raiz1-x>0 para x<1, isso já está garantido por x<1.
  3. A ln externa pede lnl(tfrac2+x^2raiz1-xr)>0, isto é
    2+x^2raiz1-x>1
    Elevando ao quadrado (respeitando sinais) leva a um polinômio que se mostra sempre positivo em x<1. Logo não elimina mais pontos além de x<1.
  4. Em tfrac1raiz3-x precisamos de 3-x>0 e raiz3-xneq0, ou seja
    x<3
    e xneq3. Mas como já temos x<1, esta condição fica incluída.

Resposta

a)
R(x)=ln!l(ln!l(tfrac2+x^2raiz1-xr)r);-;1raiz3-x,
com domínio
(-infty,1)
b)
Restrigindo-se f a [0,infty) para torná-la injetora e sobrejetora em [2,infty), sua inversa é
f^-1(x)=raizx-2,
com domínio [2,infty).

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