2-Dadas as funções
e
. Escreva função
na forma mais simples e defina o domínio de
. Sendo
a)
b) Escreva a função inversa de
, de modo que ela exista.
a)
b) Escreva a função inversa de
Passo 1
O enunciado dá as funções
e pede em (a) simplificar
e determinar seu domínio; em (b) exibir a inversa de
, após restringi-la para que seja bijetora.
Passo 2
Vamos primeiro simplificar a parte interna de
. Como
temos
Logo
Passo 3
Agora impomos as condições de existência de cada parte:
-
no denominador obriga , ou seja -
A função
interna exige mas comosempre e para , isso já está garantido por . -
A
externa pede , isto é Elevando ao quadrado (respeitando sinais) leva a um polinômio que se mostra sempre positivo em. Logo não elimina mais pontos além de . -
Em
precisamos de e , ou seja e. Mas como já temos , esta condição fica incluída.
Resposta
a)
com domínio
b)
Restrigindo-se a
para torná-la injetora e sobrejetora em
, sua inversa é
Restrigindo-se
com domínio
.