3-Estabeleça a relação entre de<a e varepsilon conveniente para lim x 5(6x+2)=6 / 7, usando a definição de limite.

Passo 1

O enunciado quer mostrar, pela definição ε–δ de limite, que
limxto56x+2=67,
isto é, dado ε>0 devemos encontrar δ>0 tal que, sempre que |x−5|<δ, então
l|6x+2-67r|<varepsilon

Passo 2

Calculemos a diferença:
l|6x+2-67r| =l|6,(7-(x+2))7,(x+2)r| =6,|x-5|7,|x+2|

Passo 3

Para controlar o termo |x+2| no denominador, impomos provisoriamente |x−5|<1. Então x∈(4,6) e segue
|x+2|>4+2=6

Passo 4

Sob |x−5|<1 temos
l|6x+2-67r| <67cdot6,|x-5| =17,|x-5|
Para que isto seja <ε basta exigir
17,|x-5|<varepsilon Longrightarrow |x-5|<7,varepsilon

Passo 5

Devemos então satisfazer simultaneamente |x−5|<1 e |x−5|<7ε. Logo basta escolher
de<a=min1,,7varepsilon
Assim, sempre que |x−5|<δ temos |f(x)−6/7|<ε.

Resposta

Escolha de<a=min1,,7varepsilon.

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