Dadas as funções abaixo, determine as Derivadas utilizando as propriedades.
Passo 1
O problema pede para determinar as derivadas das duas funções dadas. As informações que temos são exatamente as expressões das funções:
Ou seja, precisamos encontrar
e
. Não há outras condições nem pontos onde avaliar — só a derivação simbólica.
Passo 2
Primeiro, umas regras e propriedades que vamos usar (não tem mistério, vou explicar cada uma com calma):
- Regra do poder (power rule): para qualquer número real
,
Aqui
é a variável e
é o expoente; funciona para
inteiro, fracionário ou negativo.
- Linearidade da derivada (soma e constante):
onde
são constantes.
- Derivada de constante:
- Produto: existe a regra do produto, mas quando dá para simplificar expandindo (multiplicando os polinômios) antes de derivar, isso costuma ser mais simples em prova. Aqui ambas as funções permitem expansão fácil, então eu vou expandir e depois derivar termo a termo usando o poder e linearidade — é um método direto e elementar.
Vou aplicar essas propriedades passo a passo.
Passo 3
Expandindo
. Multiplicamos termo a termo:
Calculo cada produto:
Somando os termos obtidos:
Passo 4
Agora derivamos
termo a termo usando a regra do poder e linearidade. Lembre que para cada termo
a derivada é
.
- Derivada de
: pela regra do poder, . - Derivada de
: (é ). - Derivada de
: coeficiente vezes a derivada de . Pela regra do poder, . Então . - Derivada de
: constante, então .
Somando:
Se preferir em forma de fração,
, então
Passo 5
Agora
. Primeiro reescrevo a divisão por
como multiplicação por
:
Em seguida, distribuo para expandir:
Logo
Passo 6
Derivando
termo a termo com a regra do poder (observe expoentes fracionários):
- Derivada de
: coeficiente vezes , isto é . - Derivada de
: vezes , isto é . - Derivada de
: vezes , isto é .
Somando:
Passo 7
Opcional: escrever
com radicais para leitura mais familiar. Como
e
,
, temos
Dica de prova: normalmente essa forma (com raízes) é mais fácil de interpretar; a forma com potências negativas é melhor para manipular algébrica/teoricamente (por exemplo para fatorar).