Dadas as funções abaixo, determine as Derivadas utilizando as propriedades.
\begin{aligned} & \boldsymbol{f}(\boldsymbol{h})=\left(\boldsymbol{h}^{-3}+\boldsymbol{h}^{-2}\right)\left(\boldsymbol{h}^{\mathbf{4}}+\mathbf{2} \boldsymbol{h}^{\mathbf{2}}\right) \\\ & P(w)=\frac{2 w^{2}-w+4}{\sqrt{w}} \end{aligned}

Passo 1

O problema pede para determinar as derivadas das duas funções dadas. As informações que temos são exatamente as expressões das funções:
f(h)=\left(h^{-3}+h^{-2}\right)\left(h^{4}+2h^{2}\right)
P(w)=\frac{2w^{2}-w+4}{\sqrt{w}}
Ou seja, precisamos encontrar f'(h) e P'(w). Não há outras condições nem pontos onde avaliar — só a derivação simbólica.

Passo 2

Primeiro, umas regras e propriedades que vamos usar (não tem mistério, vou explicar cada uma com calma):
  • Regra do poder (power rule): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{\,n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente; funciona para n inteiro, fracionário ou negativo.
  • Linearidade da derivada (soma e constante):
\frac{d}{dx}\bigl(a\cdot u(x)+b\cdot v(x)\bigr)=a\cdot u'(x)+b\cdot v'(x),
onde a,b são constantes.
  • Derivada de constante:
\frac{d}{dx}C=0.
  • Produto: existe a regra do produto, mas quando dá para simplificar expandindo (multiplicando os polinômios) antes de derivar, isso costuma ser mais simples em prova. Aqui ambas as funções permitem expansão fácil, então eu vou expandir e depois derivar termo a termo usando o poder e linearidade — é um método direto e elementar.
Vou aplicar essas propriedades passo a passo.

Passo 3

Expandindo f(h). Multiplicamos termo a termo:
f(h)=(h^{-3}+h^{-2})(h^{4}+2h^{2})
Calculo cada produto:
h^{-3}\cdot h^{4}=h^{(-3+4)}=h^{1}=h,
h^{-3}\cdot 2h^{2}=2h^{(-3+2)}=2h^{-1},
h^{-2}\cdot h^{4}=h^{(-2+4)}=h^{2},
h^{-2}\cdot 2h^{2}=2h^{(-2+2)}=2h^{0}=2.
Somando os termos obtidos:
f(h)=h^{2}+h+2h^{-1}+2.

Passo 4

Agora derivamos f(h) termo a termo usando a regra do poder e linearidade. Lembre que para cada termo a h^{n} a derivada é a n h^{n-1}.
  • Derivada de h^{2}: pela regra do poder, \dfrac{d}{dh}h^{2}=2h.
  • Derivada de h: \dfrac{d}{dh}h=1 1\cdot h^{0}).
  • Derivada de 2h^{-1}: coeficiente 2 vezes a derivada de h^{-1}. Pela regra do poder, \dfrac{d}{dh}h^{-1}=(-1)h^{-2}. Então \dfrac{d}{dh}2h^{-1}=2\cdot(-1)h^{-2}=-2h^{-2}.
  • Derivada de 2: constante, então 0.
Somando:
f'(h)=2h+1-2h^{-2}.
Se preferir em forma de fração, -2h^{-2}=-\dfrac{2}{h^{2}}, então
f'(h)=2h+1-\dfrac{2}{h^{2}}.

Passo 5

Agora P(w). Primeiro reescrevo a divisão por \sqrt{w} como multiplicação por w^{-1/2}:
P(w)=(2w^{2}-w+4)\,w^{-1/2}.
Em seguida, distribuo para expandir:
2w^{2}\cdot w^{-1/2}=2w^{2-1/2}=2w^{3/2},
(-w)\cdot w^{-1/2}=-w^{1-1/2}=-w^{1/2},
4\cdot w^{-1/2}=4w^{-1/2}.
Logo
P(w)=2w^{3/2}-w^{1/2}+4w^{-1/2}.

Passo 6

Derivando P(w) termo a termo com a regra do poder (observe expoentes fracionários):
  • Derivada de 2w^{3/2}: coeficiente 2 vezes \dfrac{3}{2}w^{1/2}, isto é 2\cdot\dfrac{3}{2}w^{1/2}=3w^{1/2}.
  • Derivada de -w^{1/2}: -1 vezes \dfrac{1}{2}w^{-1/2}, isto é -\dfrac{1}{2}w^{-1/2}.
  • Derivada de 4w^{-1/2}: 4 vezes -\dfrac{1}{2}w^{-3/2}, isto é -2w^{-3/2}.
Somando:
P'(w)=3w^{1/2}-\tfrac{1}{2}w^{-1/2}-2w^{-3/2}.

Passo 7

Opcional: escrever P'(w) com radicais para leitura mais familiar. Como w^{1/2}=\sqrt{w} e w^{-1/2}=1/\sqrt{w}, w^{-3/2}=1/w^{3/2}=1/(w\sqrt{w}), temos
P'(w)=3\sqrt{w}-\dfrac{1}{2\sqrt{w}}-\dfrac{2}{w^{3/2}}.
Dica de prova: normalmente essa forma (com raízes) é mais fácil de interpretar; a forma com potências negativas é melhor para manipular algébrica/teoricamente (por exemplo para fatorar).

Resposta

f'(h)=2h+1-2h^{-2}
P'(w)=3w^{1/2}-\dfrac{1}{2}w^{-1/2}-2w^{-3/2}

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