Determine as equações das Retas Tangente e Normais às curvas abaixo, no ponto dado.
h=-\frac{8}{\sqrt{x}},(4,-4) \quad y=\frac{3}{4 x-2},(4,3 / 14)

Passo 1

O problema pede: encontrar as equações da reta tangente e da reta normal, para cada curva no ponto indicado. As informações dadas são:
  • Para a primeira curva: h(x) = -\dfrac{8}{\sqrt{x}} e o ponto (4,-4).
  • Para a segunda curva: y(x)=\dfrac{3}{4x-2} e o ponto \left(4,\dfrac{3}{14}\right).
Nada mais é pedido além de obter as equações das retas tangente e normal em cada ponto.

Passo 2

Vou começar com a primeira curva. Primeiro simplificamos a escrita para facilitar a diferenciação: escrevemos a função usando potência.
Reescrevendo
h(x) = -\frac{8}{\sqrt{x}} = -8\,x^{-1/2}.
Isso é só álgebra: \sqrt{x}=x^{1/2}, então dividir por \sqrt{x} é multiplicar por x^{-1/2}.

Passo 3

Agora precisamos da derivada h'(x) (a inclinação da tangente). Vou explicar a regra que usamos: a regra do poder (power rule) diz que, para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
E, se há uma constante multiplicando, a derivada multiplica pela constante (constante fatorada).
Aplicando aqui:
h(x) = -8\,x^{-1/2}
h'(x) = -8 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) x^{-1/2-1} = -8 \cdot \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) x^{-3/2}.
Calcule a constante: -8\cdot(-\tfrac{1}{2})=4. Logo
h'(x)=4\,x^{-3/2}=\frac{4}{x^{3/2}}=\frac{4}{x\sqrt{x}}.

Passo 4

Agora avaliamos a derivada no ponto x=4 para obter a inclinação da tangente naquele ponto:
h'(4)=\frac{4}{4^{3/2}}.
Lembre que 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8. Então
h'(4)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.
Portanto a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em (4,-4) é m_{\text{tan}}=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Equação da reta tangente: usamos a forma ponto-inclinação (point-slope):
y-y_0=m(x-x_0).
Substituindo m=\tfrac{1}{2} e (x_0,y_0)=(4,-4),
y-(-4)=\tfrac{1}{2}(x-4).
Simplificando:
y+4=\tfrac{1}{2}x-2 \quad\Longrightarrow\quad y=\tfrac{1}{2}x-6.
Verificação rápida: para x=4 a expressão dá y=2-6=-4, ok.

Passo 6

A reta normal é a reta perpendicular à tangente naquele ponto. Se a tangente tem coeficiente angular m_{\text{tan}}\neq0, o coeficiente angular da normal é o negativo do inverso:
m_{\text{norm}}=-\frac{1}{m_{\text{tan}}}.
Aqui m_{\text{tan}}=\tfrac{1}{2}, então
m_{\text{norm}}=-\frac{1}{1/2}=-2.
Usando ponto-inclinação com (4,-4):
y+4=-2(x-4)\quad\Longrightarrow\quad y=-2x+4.

Passo 7

Agora para a segunda curva. Primeiro escrevemos a função de forma a aplicar a regra da cadeia:
y(x)=\frac{3}{4x-2}=3\,(4x-2)^{-1}.
Vamos achar y'(x). A regra da cadeia diz que, para f(u(x)), \dfrac{d}{dx}f(u(x))=f'(u(x))\cdot u'(x). Aqui f(u)=3u^{-1} e u(x)=4x-2.
Derivando:
\frac{d}{dx}\bigl(3(4x-2)^{-1}\bigr)=3\cdot(-1)(4x-2)^{-2}\cdot(4).
Multiplicando as constantes: 3\cdot(-1)\cdot4=-12. Assim
y'(x)=-12(4x-2)^{-2}=-\frac{12}{(4x-2)^2}.

Passo 8

Avalie a derivada em x=4. Primeiro calcule 4x-2 em x=4: 4\cdot4-2=16-2=14. Como a tabela/valor do ponto dado também indica y(4)=\tfrac{3}{14}, está consistente.
Agora
y'(4)=-\frac{12}{14^2}=-\frac{12}{196}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 4:
y'(4)=-\frac{3}{49}.
Portanto a inclinação da tangente no ponto \left(4,\tfrac{3}{14}\right) é m_{\text{tan}}=-\tfrac{3}{49}.

Passo 9

Equação da reta tangente (forma ponto-inclinação):
y-\frac{3}{14}=-\frac{3}{49}(x-4).
Podemos transformar para a forma explicita y=mx+b. Desenvolvendo o lado direito:
y=-\frac{3}{49}x+\frac{12}{49}+\frac{3}{14}.
Somamos as constantes: escrevendo \tfrac{3}{14}=\tfrac{21}{98} e \tfrac{12}{49}=\tfrac{24}{98}, temos soma \tfrac{45}{98}. Então
y=-\frac{3}{49}x+\frac{45}{98}.

Passo 10

Reta normal: o coeficiente angular é o negativo do inverso de m_{\text{tan}}=-\tfrac{3}{49}. Logo
m_{\text{norm}}=-\frac{1}{-\tfrac{3}{49}}=\frac{49}{3}.
Forma ponto-inclinação para a normal:
y-\frac{3}{14}=\frac{49}{3}(x-4).
Se quiser na forma explícita, basta desenvolver; eu mantenho a forma ponto-inclinação porque é limpa e correta.

Resposta

Para h(x)=-\dfrac{8}{\sqrt{x}} no ponto (4,-4): reta tangente y=\dfrac{1}{2}x-6 \n reta normal y=-2x+4
Para y(x)=\dfrac{3}{4x-2} no ponto \left(4,\dfrac{3}{14}\right): reta tangente y-\dfrac{3}{14}=-\dfrac{3}{49}(x-4) (ou y=-\dfrac{3}{49}x+\dfrac{45}{98}) \n reta normal y-\dfrac{3}{14}=\dfrac{49}{3}(x-4)

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