Determine as equações das Retas Tangente e Normais às curvas abaixo, no ponto dado.
Passo 1
O problema pede: encontrar as equações da reta tangente e da reta normal, para cada curva no ponto indicado. As informações dadas são:
- Para a primeira curva:
e o ponto . - Para a segunda curva:
e o ponto .
Nada mais é pedido além de obter as equações das retas tangente e normal em cada ponto.
Passo 2
Vou começar com a primeira curva. Primeiro simplificamos a escrita para facilitar a diferenciação: escrevemos a função usando potência.
Reescrevendo
Isso é só álgebra:
, então dividir por
é multiplicar por
.
Passo 3
Agora precisamos da derivada
(a inclinação da tangente). Vou explicar a regra que usamos: a regra do poder (power rule) diz que, para qualquer número real
,
E, se há uma constante multiplicando, a derivada multiplica pela constante (constante fatorada).
Aplicando aqui:
Calcule a constante:
. Logo
Passo 4
Agora avaliamos a derivada no ponto
para obter a inclinação da tangente naquele ponto:
Lembre que
. Então
Portanto a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente em
é
.
Passo 5
Equação da reta tangente: usamos a forma ponto-inclinação (point-slope):
Substituindo
e
,
Simplificando:
Verificação rápida: para
a expressão dá
, ok.
Passo 6
A reta normal é a reta perpendicular à tangente naquele ponto. Se a tangente tem coeficiente angular
, o coeficiente angular da normal é o negativo do inverso:
Aqui
, então
Usando ponto-inclinação com
:
Passo 7
Agora para a segunda curva. Primeiro escrevemos a função de forma a aplicar a regra da cadeia:
Vamos achar
. A regra da cadeia diz que, para
,
. Aqui
e
.
Derivando:
Multiplicando as constantes:
. Assim
Passo 8
Avalie a derivada em
. Primeiro calcule
em
:
. Como a tabela/valor do ponto dado também indica
, está consistente.
Agora
Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
Portanto a inclinação da tangente no ponto
é
.
Passo 9
Equação da reta tangente (forma ponto-inclinação):
Podemos transformar para a forma explicita
. Desenvolvendo o lado direito:
Somamos as constantes: escrevendo
e
, temos soma
. Então
Passo 10
Reta normal: o coeficiente angular é o negativo do inverso de
. Logo
Forma ponto-inclinação para a normal:
Se quiser na forma explícita, basta desenvolver; eu mantenho a forma ponto-inclinação porque é limpa e correta.
Resposta
Para
no ponto
: reta tangente
\n reta normal
Para
no ponto
: reta tangente
(ou
) \n reta normal