Dadas as funções abaixo determine: o domínio, assintotas verticas, assíntotas horizontais.
  1. f(x)=x^2+x-2x^2-x+6
  2. f(x)=2 x^2x^2-1
  3. f(x)=3x-2
  4. f(x)=2 x-1x
  5. f(x)=x^2-4x+3
  6. f(x)=x^2-xx+1
  7. f(x)=x^2-9x^2-2 x-3
  8. f(x)=4 x^3+xx^3-1

Passo 1

Temos 8 funções racionais e queremos, para cada uma, determinar o domínio, as assíntotas verticais e as horizontais. Vamos precisar: (1) encontrar onde o denominador se anula para achar domínio e assíntotas verticais; (2) comparar graus de numerador e denominador para assíntotas horizontais ou oblíquas.

Passo 2

Para f(x)= x^2+x-2x^2-x+6: o denominador x^{2}-x+6 não zera em R (discriminante negativo), então o domínio é R e não há assíntotas verticais. Como os graus são iguais (2 e 2), a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais, isto é y=1.

Passo 3

Para f(x)= 2x^2x^2-1: o denominador anula-se em x=pm1, então o domínio é Rsetminuspm1 e há assíntotas verticais em x=1 e x=-1. Graus iguais (2 e 2) dão assíntota horizontal y=2.

Passo 4

Para f(x)= 3x-2: o denominador anula-se em x=2, logo o domínio é Rsetminus2 e há assintota vertical em x=2. Como grau do numerador (0) é menor que do denominador (1), a assíntota horizontal é y=0.

Passo 5

Para f(x)= 2x-1x: o denominador anula-se em x=0, então o domínio é Rsetminus0 e existe assíntota vertical em x=0. Os graus são iguais (1 e 1), daí assíntota horizontal y=2.

Passo 6

Para f(x)= x^2-4x+3: o denominador anula-se em x=-3, domínio Rsetminus-3 e assíntota vertical em x=-3. Como grau do numerador (2) é maior que do denominador (1), não há assíntota horizontal (há sim oblíqua!).

Passo 7

Para f(x)= x^2-xx+1: o denominador anula-se em x=-1, domínio Rsetminus-1 e assíntota vertical em x=-1. Grau do numerador (2) maior que do denominador (1) implica ausência de assíntota horizontal (há oblíqua).

Passo 8

Para f(x)= x^2-9x^2-2x-3: fatorando, (x-3)(x+3)(x-3)(x+1). O domínio é Rsetminus3,-1. Em x=3 há buraco (removível), e em x=-1 há assíntota vertical. Graus iguais (2 e 2) dão assíntota horizontal y=1.

Passo 9

Para f(x)= 4x^3+xx^3-1: o denominador anula-se em x=1 (os outros zeros são complexos), domínio Rsetminus1 e assíntota vertical em x=1. Como os graus são iguais (3 e 3), a assíntota horizontal é y=4.

Resposta

  1. Domínio: R; AV: nenhuma; AH: y=1. 2) Domínio: Rsetminuspm1; AV: x=pm1; AH: y=2. 3) Domínio: Rsetminus2; AV: x=2; AH: y=0. 4) Domínio: Rsetminus0; AV: x=0; AH: y=2. 5) Domínio: Rsetminus-3; AV: x=-3; sem AH. 6) Domínio: Rsetminus-1; AV: x=-1; sem AH. 7) Domínio: Rsetminus3,-1; AV: x=-1; AH: y=1. 8) Domínio: Rsetminus1; AV: x=1; AH: y=4.

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