Determine m in R de modo que a equação
2^x+2^-x=2 m
tenha raízes reais.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre os valores de minR para que a equação 2^x + 2^-x = 2m tenha solução real em x. O conteúdo é resolução de equação exponencial via mudança de variável e estudo de existência de raízes.

Passo 2

Para simplificar, fazemos a mudança de variável t = 2^x. Como 2^-x = 1/2^x, a equação vira
t + 1t = 2m

Passo 3

Multiplicando por t (sabendo que t>0), obtemos a equação quadrática em t:
t^2 - 2m,t + 1 = 0

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara em t^2 - 2m t + 1 = 0, temos as raízes
t = 2m pm raiz(2m)^2 - 4cdot1cdot12 = m pm raizm^2 - 1

Passo 5

Para que existam raízes reais em x, precisamos de duas coisas: (i) o discriminante De não negativo, e (ii) as raízes t serem positivas, já que t=2^x>0.

Passo 6

O discriminante De= 0 m^2 - 1 >= 0, ou seja m <= -1 ou m >= 1. Mas as raízes m pm raizm^2 - 1 só são ambas positivas quando m >= 1. Para m=-1, as duas raízes são negativas ou nulas, o que não cabe em t>0.

Passo 7

Logo, a condição para existir pelo menos um x real é m >= 1.

Resposta

m >= 1

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