Dadas as funções abaixo, determine o seu ponto crítico (máximo, mínimo ou sela) e classifique-o:
F(x, y)=9 x y+7 x y^2-3 x^2 y

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a função $ F(x, y) = 9xy + 7xy^{2} - 3x^{2}y $ e precisamos encontrar os pontos críticos dela. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Isso nos ajuda a descobrir onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela. Para resolver isso, precisamos calcular as derivadas parciais da função e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante e diferenciamos em relação a $ x $:
F

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante e diferenciamos em relação a $ y $:
F

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
9y + 7y^2 - 6xy = 0 9x + 14xy - 3x^2 = 0
Vamos simplificar essas equações.

Passo 5

Da primeira equação:
9y + 7y^2 - 6xy = 0 y(9 + 7y - 6x) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ y = 0 $
  2. $ 9 + 7y - 6x = 0 $

Passo 6

Vamos analisar a primeira possibilidade ($ y = 0 $) na segunda equação:
y = 0
Então:
  • $ x = 0 $
  • $ 9 - 3x = 0 $ 9x + 14x(0) - 3x^2 = 0 9x - 3x^2 = 0 x(9 - 3x) = 0 $ x = 3 $
Portanto, temos dois pontos críticos nessa possibilidade: $ (0, 0) $ e $ (3, 0) $.

Passo 7

Agora, vamos analisar a segunda possibilidade da primeira equação: $ 9 + 7y - 6x = 0 $. Vamos resolver para $ x $:
9 + 7y - 6x = 0
Vamos substituir essa expressão para $ x $ na segunda equação do sistema:
x

Passo 8

Vamos simplificar essa equação passo a passo:
Primeiro, multiplicamos tudo por 6 para eliminar os denominadores:
9(9 + 7y) + 14(9 + 7y)y - 3(9 + 7y)^2 = 0 81 + 63y + 126y + 98y^2 - 3(81 + 126y + 49y^2) = 0 81 + 63y + 126y + 98y^2 - 243 - 378y - 147y^2 = 0 (81 - 243) + (63y + 126y - 378y) + (98y^2 - 147y^2) = 0 -162 - 189y - 49y^2 = 0
Multiplicando por -1 para simplificar:
162 + 189y + 49y^2 = 0

Passo 9

Agora, temos uma equação quadrática em $ y $:
y
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
49y^2 + 189y + 162 = 0
Onde $ a = 49 $, $ b = 189 $, e $ c = 162 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
A raiz quadrada de 3969 é 63.
Então:
a = 49
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ y = \frac{-189 + 63}{98} = \frac{-126}{98} = -\frac{63}{49} = -\frac{9}{7} $
  2. $ y = \frac{-189 - 63}{98} = \frac{-252}{98} = -\frac{126}{49} = -\frac{18}{7} $

Passo 10

Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de $ x $ usando $ x = \frac{9 + 7y}{6} $:
Para $ y = -\frac{9}{7} $:
x
Para $ y = -\frac{18}{7} $:
x = 9 + 7y6
Então, mais dois pontos críticos: $ (0, -\frac{9}{7}) $ e $ (-\frac{3}{2}, -\frac{18}{7}) $.

Passo 11

Agora que temos todos os pontos críticos: $ (0, 0) $, $ (3, 0) $, $ (0, -\frac{9}{7}) $, e $ (-\frac{3}{2}, -\frac{18}{7}) $, vamos classificar cada um deles como máximo, mínimo ou sela.
Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 12

Vamos calcular as segundas derivadas:
partial^2 Fpartial x^2 = partialpartial x(9y + 7y^2 - 6xy) = -6y
partial^2 Fpartial y^2 = partialpartial y(9x + 14xy - 3x^2) = 14x
partial^2 Fpartial x partial y = partialpartial y(9y + 7y^2 - 6xy) = 9 + 14y - 6x

Passo 13

O discriminante $ D $ é dado por:
D
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.

Passo 14

Para o ponto $ (0, 0) $:
(0, 0)
partial^2 Fpartial x^2 = -6(0) = 0
partial^2 Fpartial y^2 = 14(0) = 0
Então:
partial^2 Fpartial x partial y = 9 + 14(0) - 6(0) = 9
Como $ D < 0 $, o ponto $ (0, 0) $ é um ponto de sela.

Passo 15

Para o ponto $ (3, 0) $:
(3, 0)
partial^2 Fpartial x^2 = -6(0) = 0
partial^2 Fpartial y^2 = 14(3) = 42
Então:
partial^2 Fpartial x partial y = 9 + 14(0) - 6(3) = 9 - 18 = -9
Novamente, $ D < 0 $, então $ (3, 0) $ também é um ponto de sela.

Passo 16

Para o ponto $ (0, -\frac{9}{7}) $:
(0, -97)
partial^2 Fpartial x^2 = -6(-97) = 547
partial^2 Fpartial y^2 = 14(0) = 0
Então:
partial^2 Fpartial x partial y = 9 + 14(-97) - 6(0) = 9 - 18 = -9
Mais uma vez, $ D < 0 $, então $ (0, -\frac{9}{7}) $ é um ponto de sela.

Passo 17

Para o ponto $ (-\frac{3}{2}, -\frac{18}{7}) $:
(-32, -187)
partial^2 Fpartial x^2 = -6(-187) = 1087
partial^2 Fpartial y^2 = 14(-32) = -21
Então:
partial^2 Fpartial x partial y = 9 + 14(-187) - 6(-32) = 9 - 36 + 9 = -18
Como $ D < 0 $, $ (-\frac{3}{2}, -\frac{18}{7}) $ também é um ponto de sela.

Resposta

Todos os pontos críticos da função $ F(x, y) = 9xy + 7xy^{2} - 3x^{2}y $ são pontos de sela. Os pontos críticos são:
  • $ (0, 0) $
  • $ (3, 0) $
  • $ (0, -\frac{9}{7}) $
  • $ (-\frac{3}{2}, -\frac{18}{7}) $

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