Dadas as funções abaixo, determine o seu ponto crítico (máximo, mínimo ou sela) e classifique-o:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a função $ F(x, y) = 9xy + 7xy^{2} - 3x^{2}y $ e precisamos encontrar os pontos críticos dela. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Isso nos ajuda a descobrir onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela. Para resolver isso, precisamos calcular as derivadas parciais da função e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante e diferenciamos em relação a $ x $:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante e diferenciamos em relação a $ y $:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Vamos simplificar essas equações.
Passo 5
Da primeira equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ y = 0 $
- $ 9 + 7y - 6x = 0 $
Passo 6
Vamos analisar a primeira possibilidade ($ y = 0 $) na segunda equação:
Então:
- $ x = 0 $
- $ 9 - 3x = 0 $
$ x = 3 $
Portanto, temos dois pontos críticos nessa possibilidade: $ (0, 0) $ e $ (3, 0) $.
Passo 7
Agora, vamos analisar a segunda possibilidade da primeira equação: $ 9 + 7y - 6x = 0 $. Vamos resolver para $ x $:
Vamos substituir essa expressão para $ x $ na segunda equação do sistema:
Passo 8
Vamos simplificar essa equação passo a passo:
Primeiro, multiplicamos tudo por 6 para eliminar os denominadores:
Multiplicando por -1 para simplificar:
Passo 9
Agora, temos uma equação quadrática em $ y $:
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 49 $, $ b = 189 $, e $ c = 162 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
A raiz quadrada de 3969 é 63.
Então:
Isso nos dá duas soluções:
- $ y = \frac{-189 + 63}{98} = \frac{-126}{98} = -\frac{63}{49} = -\frac{9}{7} $
- $ y = \frac{-189 - 63}{98} = \frac{-252}{98} = -\frac{126}{49} = -\frac{18}{7} $
Passo 10
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de $ x $ usando $ x = \frac{9 + 7y}{6} $:
Para $ y = -\frac{9}{7} $:
Para $ y = -\frac{18}{7} $:
Então, mais dois pontos críticos: $ (0, -\frac{9}{7}) $ e $ (-\frac{3}{2}, -\frac{18}{7}) $.
Passo 11
Agora que temos todos os pontos críticos: $ (0, 0) $, $ (3, 0) $, $ (0, -\frac{9}{7}) $, e $ (-\frac{3}{2}, -\frac{18}{7}) $, vamos classificar cada um deles como máximo, mínimo ou sela.
Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 12
Vamos calcular as segundas derivadas:
Passo 13
O discriminante $ D $ é dado por:
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.
Passo 14
Para o ponto $ (0, 0) $:
Então:
Como $ D < 0 $, o ponto $ (0, 0) $ é um ponto de sela.
Passo 15
Para o ponto $ (3, 0) $:
Então:
Novamente, $ D < 0 $, então $ (3, 0) $ também é um ponto de sela.
Passo 16
Para o ponto $ (0, -\frac{9}{7}) $:
Então:
Mais uma vez, $ D < 0 $, então $ (0, -\frac{9}{7}) $ é um ponto de sela.
Passo 17
Para o ponto $ (-\frac{3}{2}, -\frac{18}{7}) $:
Então:
Como $ D < 0 $, $ (-\frac{3}{2}, -\frac{18}{7}) $ também é um ponto de sela.
Resposta
Todos os pontos críticos da função $ F(x, y) = 9xy + 7xy^{2} - 3x^{2}y $ são pontos de sela. Os pontos críticos são:
- $ (0, 0) $
- $ (3, 0) $
- $ (0, -\frac{9}{7}) $
- $ (-\frac{3}{2}, -\frac{18}{7}) $