Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, de forma explícita:
- domínio de
; - localização das raízes (zeros);
- intervalos de crescimento e de decrescimento;
- estudo da concavidade e pontos de inflexão;
- assíntotas (se houver) — para isso calcular limites necessários;
- esboço do gráfico (com limites e valores importantes calculados).
Informações dadas imediatamente úteis: a função é a potência quarta da função seno, isto é
. Não há figura fornecida. Vou trabalhar com identidades trigonométricas e derivadas para cumprir todas as solicitações.
Passo 2
Domínio e continuidade — o que significa e como ver aqui.
Uma função trigonométrica composta por potências como está definida para todo
, porque
está definido para todo real e elevar ao 4.º é operação bem definida. Além disso, é contínua em todo
(composição de funções contínuas).
Uma função trigonométrica composta por potências como
Portanto:
Passo 3
Raízes (zeros) — como achar.
Queremos resolver . Uma quarta potência é zero somente quando a base é zero, então precisamos de
.
Queremos resolver
Solução de
:
ocorre exatamente em
Logo, as raízes são todos
e nesses pontos
.
Passo 4
Máximos (valores máximos) e pontos notáveis — onde
atinge valor máximo.
Como , temos
. O valor máximo
ocorre quando
, isto é, quando
. Solução:
Como
Nesses pontos
. Portanto a amplitude é de
a
.
Também importante: a função é periódica com período
, porque
e
. Isso simplifica o estudo: basta analisar em um período de comprimento
, por exemplo
, e repetir.
Passo 5
Derivada primeira — método e cálculo passo a passo.
Para estudar crescimento/decrescimento precisamos de . Vou aplicar a regra da cadeia: se
com
e
, então
. Aqui
e
. Assim
Para estudar crescimento/decrescimento precisamos de
É útil fatorar usando a identidade
. Observe:
Explicando as variáveis:
é a variável independente,
é a taxa de variação instantânea de
em
. A expressão fatorada facilita o estudo do sinal.
Passo 6
Críticos e monotonicidade — achar pontos onde
e analisar sinais.
Resolver :
Resolver
Fatores:
A união dá
(os pontos
estão contidos nessa sequência). Então os pontos críticos são exatamente
Para o sinal de
: note que
para todo
, e é zero apenas em
. Assim, quando
o sinal de
é o mesmo de
. A função
é positiva quando
, isto é, quando
e é negativa quando
Portanto, em cada período
:
-
cresce em ; -
decresce em .
Nos pontos críticos
temos zero da derivada, mas são mínimos (valem
); nos pontos
a derivada muda de positiva para negativa, indicando máximos (valem
).
Passo 7
Derivada segunda — cálculo detalhado e interpretação.
Para estudar concavidade calculamos . Partindo de
, vou derivar aplicando produto e cadeia:
Para estudar concavidade calculamos
Derivando
:
Explicando: derivei
como
(regra da cadeia) e derivei
como
. Agora simplifico:
Fatoremos
:
Usando
ou manipulando, notamos que
Logo uma forma prática é
Interpretação: o sinal de
depende do sinal de
, porque o fator
é sempre não negativo (zero apenas em
). Assim concavidade é governada por
.
Passo 8
Pontos em que
e estudo de concavidade / pontos de inflexão.
Resolver :
Resolver
Soluções:
-
(já conhecidas: zeros de ); -
Solução de
: ocorre em
(essas duas progressões com passo
geram todos os pontos onde
.)
Agora a mudança de sinal de
:
- Para
tal que , o sinal de é o sinal de . - Se
(isto é ), então e (concavidade para cima). - Se
, então e (concavidade para baixo).
Nos pontos
temos
também, mas ali o fator
anula a segunda derivada sem que necessariamente haja mudança de sinal (é um zero de multiplicidade par); de fato perto de
o fator
é
, então
permanece positivo ao redor desses pontos — portanto
NÃO são pontos de inflexão.
Portanto os pontos de inflexão (onde
muda de sinal) são exatamente os pontos em que
, ou seja:
Os valores de
nesses pontos (úteis para o esboço) são:
O mesmo em
, então os pontos de inflexão têm coordenadas
e
.
Concavidade resumida (usando período
):
- Concava para cima em intervalos
, . - Concava para baixo em intervalos
, .
Passo 9
Assíntotas e limites relevantes.
Assíntotas verticais: só existem se a função tender a quando
se aproxima de algum ponto finito. Aqui
é contínua em todo
e sempre finita (
), logo não há assíntotas verticais.
Assíntotas verticais: só existem se a função tender a
Assíntotas horizontais: seriam
finitas e iguais. Mas
é periódica e não tem limite quando
(o limite não existe por oscilar entre
e
). Assim não há assíntota horizontal.
Assíntotas oblíquas: exigem que
para algum
quando
. Isso não ocorre para função periódica não-constante. Logo não existem assíntotas oblíquas.
Resumindo:
Passo 10
Esboço do gráfico — descrição organizada com pontos e comportamento.
Vou descrever o gráfico em um período fundamental e indicar periodicidade.
Vou descrever o gráfico em um período fundamental
Pontos importantes em
:
-
: (raiz, mínimo). -
: ponto de inflexão com . -
: máximo com . -
: ponto de inflexão com . -
: (raiz, mínimo).
Comportamento entre esses pontos:
- Em
a função cresce de até ; é inicialmente côncava para cima até , muda para côncava para baixo entre e . - Em
decresce de até ; é côncava para baixo até , depois muda para côncava para cima até .
Repetição: o padrão se repete com período
. O gráfico é não-negativo, suavemente ondulado, com cristas em
de altura
e vales em
de altura
. A função é par (simétrica em torno de
) porque
.
Se fosse desenhar: traçar eixo
, marcar pontos a cada
talvez, colocar zeros em
, picos em
, pontos de inflexão em
, ligar com curva suave respeitando concavidade indicada.
Resposta
Domínio:
.
Raízes: .
Intervalos de crescimento: .
Intervalos de decrescimento: .
Pontos de máximo (valor ):
.
Pontos de mínimo (valor ):
.
Segunda derivada: .
Concavidade para cima: .
Concavidade para baixo: .
Pontos de inflexão: e
, com
-valor
.
Assíntotas: não existem (nenhuma assíntota vertical, horizontal ou oblíqua).
Gráfico: função periódica de período ,
, zeros em
, picos em
igual a
, pontos de inflexão em
e
; repete esse padrão por todo
.
Raízes:
Intervalos de crescimento:
Intervalos de decrescimento:
Pontos de máximo (valor
Pontos de mínimo (valor
Segunda derivada:
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Pontos de inflexão:
Assíntotas: não existem (nenhuma assíntota vertical, horizontal ou oblíqua).
Gráfico: função periódica de período