Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
f(x)=\operatorname{sen}^{4} x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\operatorname{sen}^{4}x e pede, de forma explícita:
  • domínio de f;
  • localização das raízes (zeros);
  • intervalos de crescimento e de decrescimento;
  • estudo da concavidade e pontos de inflexão;
  • assíntotas (se houver) — para isso calcular limites necessários;
  • esboço do gráfico (com limites e valores importantes calculados).
Informações dadas imediatamente úteis: a função é a potência quarta da função seno, isto é f(x)=(\sin x)^4. Não há figura fornecida. Vou trabalhar com identidades trigonométricas e derivadas para cumprir todas as solicitações.

Passo 2

Domínio e continuidade — o que significa e como ver aqui.
Uma função trigonométrica composta por potências como (\sin x)^4 está definida para todo x\in\mathbb{R}, porque \sin x está definido para todo real e elevar ao 4.º é operação bem definida. Além disso, é contínua em todo \mathbb{R} (composição de funções contínuas).
Portanto:
\text{Domínio: }\; \mathbb{R}.í

Passo 3

Raízes (zeros) — como achar.
Queremos resolver (\sin x)^4=0. Uma quarta potência é zero somente quando a base é zero, então precisamos de \sin x=0.
Solução de \sin x=0: \sin x=0 ocorre exatamente em
x=k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Logo, as raízes são todos x=k\pi e nesses pontos f(x)=0.

Passo 4

Máximos (valores máximos) e pontos notáveis — onde \sin^4 x atinge valor máximo.
Como -1\le \sin x\le 1, temos 0\le (\sin x)^4\le 1. O valor máximo 1 ocorre quando |\sin x|=1, isto é, quando \sin x=\pm1. Solução:
\sin x=\pm1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Nesses pontos f(x)=1. Portanto a amplitude é de 0 a 1.
Também importante: a função é periódica com período \pi, porque \sin(x+\pi)=-\sin x e (-\sin x)^4=(\sin x)^4. Isso simplifica o estudo: basta analisar em um período de comprimento \pi, por exemplo [0,\pi], e repetir.

Passo 5

Derivada primeira — método e cálculo passo a passo.
Para estudar crescimento/decrescimento precisamos de f'(x). Vou aplicar a regra da cadeia: se f(x)=g(h(x)) com g(u)=u^4 e h(x)=\sin x, então f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x). Aqui g'(u)=4u^3 e h'(x)=\cos x. Assim
f'(x)=4(\sin x)^3\cos x.
É útil fatorar usando a identidade \sin 2x=2\sin x\cos x. Observe:
f'(x)=4\sin^3 x\cos x = 2\sin^2 x\cdot(2\sin x\cos x)=2\sin^2 x\sin 2x.
Explicando as variáveis: x é a variável independente, f'(x) é a taxa de variação instantânea de f em x. A expressão fatorada facilita o estudo do sinal.

Passo 6

Críticos e monotonicidade — achar pontos onde f'(x)=0 e analisar sinais.
Resolver f'(x)=0:
2\sin^2 x\sin 2x=0.
Fatores:
  • \sin^2 x=0 \Rightarrow \sin x=0 \Rightarrow x=k\pi.
  • \sin 2x=0 \Rightarrow 2x=m\pi \Rightarrow x=\dfrac{m\pi}{2},\; m\in\mathbb{Z}.
A união dá x=\dfrac{m\pi}{2} (os pontos k\pi estão contidos nessa sequência). Então os pontos críticos são exatamente
x=\frac{m\pi}{2},\qquad m\in\mathbb{Z}.
Para o sinal de f': note que \sin^2 x\ge0 para todo x, e é zero apenas em x=k\pi. Assim, quando \sin x\neq0 o sinal de f'(x) é o mesmo de \sin 2x. A função \sin 2x é positiva quando 2x\in(2k\pi,(2k+1)\pi), isto é, quando
x\in\left(k\pi,\; k\pi+\frac{\pi}{2}\right),
e é negativa quando
x\in\left(k\pi+\frac{\pi}{2},\; (k+1)\pi\right).
Portanto, em cada período [k\pi,(k+1)\pi]:
  • f cresce em \left(k\pi,\; k\pi+\dfrac{\pi}{2}\right);
  • f decresce em \left(k\pi+\dfrac{\pi}{2},\; (k+1)\pi\right).
Nos pontos críticos x=k\pi temos zero da derivada, mas são mínimos (valem 0); nos pontos x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi a derivada muda de positiva para negativa, indicando máximos (valem 1).

Passo 7

Derivada segunda — cálculo detalhado e interpretação.
Para estudar concavidade calculamos f''(x). Partindo de f'(x)=4\sin^3 x\cos x, vou derivar aplicando produto e cadeia:
Derivando 4\sin^3 x\cos x:
f''(x)=4\big( (3\sin^2 x\cos x)\cos x + \sin^3 x(-\sin x)\big).
Explicando: derivei \sin^3 x como 3\sin^2 x\cos x (regra da cadeia) e derivei \cos x como -\sin x. Agora simplifico:
f''(x)=4\big(3\sin^2 x\cos^2 x - \sin^4 x\big).
Fatoremos 4\sin^2 x:
f''(x)=4\sin^2 x\big(3\cos^2 x - \sin^2 x\big).
Usando \sin^2 x=1-\cos^2 x ou manipulando, notamos que
3\cos^2 x - \sin^2 x = 3\cos^2 x - (1-\cos^2 x) = 4\cos^2 x -1.
Logo uma forma prática é
\boxed{f''(x)=4\sin^2 x\,(4\cos^2 x-1).}
Interpretação: o sinal de f'' depende do sinal de 4\cos^2 x-1, porque o fator 4\sin^2 x é sempre não negativo (zero apenas em x=k\pi). Assim concavidade é governada por 4\cos^2 x-1.

Passo 8

Pontos em que f''(x)=0 e estudo de concavidade / pontos de inflexão.
Resolver f''(x)=0:
4\sin^2 x\,(4\cos^2 x-1)=0.
Soluções:
  • \sin^2 x=0 \Rightarrow x=k\pi (já conhecidas: zeros de f);
  • 4\cos^2 x-1=0 \Rightarrow \cos^2 x=\dfrac{1}{4} \Rightarrow |\cos x|=\dfrac{1}{2}.
Solução de |\cos x|=\dfrac{1}{2}: ocorre em
x=\frac{\pi}{3}+k\pi \quad\text{e}\quad x=\frac{2\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
(essas duas progressões com passo \pi geram todos os pontos onde \cos^2 x=1/4.)
Agora a mudança de sinal de f'':
  • Para x tal que \sin x\neq0, o sinal de f''(x) é o sinal de 4\cos^2 x-1.
  • Se |\cos x|>\dfrac{1}{2} (isto é \cos^2 x>\tfrac14), então 4\cos^2 x-1>0 e f''(x)>0 (concavidade para cima).
  • Se |\cos x|<\dfrac{1}{2}, então 4\cos^2 x-1<0 e f''(x)<0 (concavidade para baixo).
Nos pontos x=k\pi temos f''(x)=0 também, mas ali o fator \sin^2 x anula a segunda derivada sem que necessariamente haja mudança de sinal (é um zero de multiplicidade par); de fato perto de x=k\pi o fator 4\cos^2 x-1 é 3>0, então f'' permanece positivo ao redor desses pontos — portanto x=k\pi NÃO são pontos de inflexão.
Portanto os pontos de inflexão (onde f'' muda de sinal) são exatamente os pontos em que \cos^2 x=\tfrac14, ou seja:
\boxed{x=\frac{\pi}{3}+k\pi\quad\text{e}\quad x=\frac{2\pi}{3}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.}
Os valores de f nesses pontos (úteis para o esboço) são:
\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^4=\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}.
O mesmo em x=\frac{2\pi}{3}+k\pi, então os pontos de inflexão têm coordenadas \left(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{9}{16}\right) e \left(\frac{2\pi}{3}+k\pi,\frac{9}{16}\right).
Concavidade resumida (usando período \pi):
  • Concava para cima em intervalos \left(k\pi-\frac{\pi}{3},\,k\pi+\frac{\pi}{3}\right), k\in\mathbb{Z}.
  • Concava para baixo em intervalos \left(k\pi+\frac{\pi}{3},\,k\pi+\frac{2\pi}{3}\right), k\in\mathbb{Z}.

Passo 9

Assíntotas e limites relevantes.
Assíntotas verticais: só existem se a função tender a \pm\infty quando x se aproxima de algum ponto finito. Aqui f é contínua em todo \mathbb{R} e sempre finita ( 0\le f\le1), logo não há assíntotas verticais.
Assíntotas horizontais: seriam \lim_{x\to\pm\infty} f(x) finitas e iguais. Mas f é periódica e não tem limite quando x\to\infty (o limite não existe por oscilar entre 0 e 1). Assim não há assíntota horizontal.
Assíntotas oblíquas: exigem que f(x)- (ax+b)\to0 para algum a\neq0 quando x\to\pm\infty. Isso não ocorre para função periódica não-constante. Logo não existem assíntotas oblíquas.
Resumindo:
\text{Não existem assíntotas (verticais, horizontais ou oblíquas).}ãíí

Passo 10

Esboço do gráfico — descrição organizada com pontos e comportamento.
Vou descrever o gráfico em um período fundamental [0,\pi] e indicar periodicidade.
Pontos importantes em [0,\pi]:
  • x=0: f(0)=0 (raiz, mínimo).
  • x=\dfrac{\pi}{3}: ponto de inflexão com f=\dfrac{9}{16}.
  • x=\dfrac{\pi}{2}: máximo com f=1.
  • x=\dfrac{2\pi}{3}: ponto de inflexão com f=\dfrac{9}{16}.
  • x=\pi: f(\pi)=0 (raiz, mínimo).
Comportamento entre esses pontos:
  • Em (0,\tfrac{\pi}{2}) a função cresce de 0 até 1; é inicialmente côncava para cima até \pi/3, muda para côncava para baixo entre \pi/3 e \pi/2.
  • Em (\tfrac{\pi}{2},\pi) decresce de 1 até 0; é côncava para baixo até 2\pi/3, depois muda para côncava para cima até \pi.
Repetição: o padrão se repete com período \pi. O gráfico é não-negativo, suavemente ondulado, com cristas em x=\frac{\pi}{2}+k\pi de altura 1 e vales em x=k\pi de altura 0. A função é par (simétrica em torno de 0) porque \sin^4(-x)=\sin^4 x.
Se fosse desenhar: traçar eixo x, marcar pontos a cada \pi/6 talvez, colocar zeros em 0,\pi,2\pi,\dots, picos em \pi/2,3\pi/2,\dots, pontos de inflexão em \pi/3,2\pi/3,\dots, ligar com curva suave respeitando concavidade indicada.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Raízes: x=k\pi,\; k\in\mathbb{Z}.
Intervalos de crescimento: x\in\left(k\pi,\;k\pi+\dfrac{\pi}{2}\right),\;k\in\mathbb{Z}.
Intervalos de decrescimento: x\in\left(k\pi+\dfrac{\pi}{2},\;(k+1)\pi\right),\;k\in\mathbb{Z}.
Pontos de máximo (valor 1): x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.
Pontos de mínimo (valor 0): x=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}.
Segunda derivada: f''(x)=4\sin^2 x\,(4\cos^2 x-1).
Concavidade para cima: x\in\left(k\pi-\dfrac{\pi}{3},\;k\pi+\dfrac{\pi}{3}\right),\;k\in\mathbb{Z}.
Concavidade para baixo: x\in\left(k\pi+\dfrac{\pi}{3},\;k\pi+\dfrac{2\pi}{3}\right),\;k\in\mathbb{Z}.
Pontos de inflexão: x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi e x=\dfrac{2\pi}{3}+k\pi, com f-valor \dfrac{9}{16}.
Assíntotas: não existem (nenhuma assíntota vertical, horizontal ou oblíqua).
Gráfico: função periódica de período \pi, 0\le f\le1, zeros em k\pi, picos em \dfrac{\pi}{2}+k\pi igual a 1, pontos de inflexão em \dfrac{\pi}{3}+k\pi e \dfrac{2\pi}{3}+k\pi; repete esse padrão por todo \mathbb{R}.

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