Determine as assíntotas das funções abaixo, caso existam:
f(x)=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as assíntotas da função f(x)=e^{x}, caso existam.
Informações relevantes fornecidas ou imediatamente conhecíveis da própria função (sem começar a resolver):
  • A função é f(x)=e^{x}.
  • O domínio natural é \mathbb{R} (todos os reais).
  • Para x real, e^{x}>0 (a função é sempre positiva).
  • A função é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}.
    Não vou ainda calcular limites nem decidir as assíntotas — isso começa no Passo 2.

Passo 2

O que são assíntotas (em linguagem simples e prática para prova):
  • Assíntota vertical em x=a: normalmente ocorre se \lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty ou \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty. Em prática: valores finitos de x onde a função “explode” para infinito.
  • Assíntota horizontal: reta y=L é assíntota quando \lim_{x\to\infty}f(x)=L ou \lim_{x\to -\infty}f(x)=L.
  • Assíntota oblíqua (reta y=mx+b com m\neq 0): existe se ao ir para \pm\infty a função se aproxima de uma reta com declive m e intercepto b. Métodos práticos: calcular
m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}
e, se esse limite for finito, calcular
b=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-m x\bigr).
Se m for finito e diferente de zero, e b existir finito, então y=mx+b é assíntota oblíqua.

Passo 3

Verificação de assíntotas verticais para f(x)=e^{x}.
Como e^{x} é contínua em todo \mathbb{R} e para qualquer ponto a\in\mathbb{R} temos
\lim_{x\to a}e^{x}=e^{a},
que é um número finito, não pode haver comportamento do tipo f(x)\to\pm\infty quando x\to a. Portanto não existem pontos finitos a onde a função “explode”. Conclusão: não há assíntotas verticais.
(Dica curta: uma assíntota vertical só aparece em funções com descontinuidades do tipo infinito — como 1/(x-a). Aqui não ocorre.)

Passo 4

Verificação de assíntotas horizontais para f(x)=e^{x}.
Calcular os limites nas extremidades:
Para x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty.
Logo a função não tende a um número finito quando x\to+\infty; portanto não há assíntota horizontal por +\infty.
Para x\to-\infty:
\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0.
Isto decorre da propriedade da exponencial: à medida que x tende a -\infty, e^{x} decai para zero. Assim existe uma assíntota horizontal dada por y=0 quando x\to -\infty.
Resumo: há uma assíntota horizontal y=0 pela esquerda ( x\to -\infty); nenhuma assíntota horizontal pela direita ( x\to+\infty).

Passo 5

Verificação de assíntotas oblíquas para f(x)=e^{x}.
Usamos as fórmulas práticas para o declive m.
Para x\to+\infty:
m=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x}=+\infty,
pois a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio; o quociente não tende a um número finito, então não existe m finito, e portanto não pode haver assíntota oblíqua com m finito.
Para x\to-\infty:
m=\lim_{x\to-\infty}\frac{e^{x}}{x}=0,
porque e^{x}\to 0 e x\to -\infty; o quociente tende a 0. Esse m=0 corresponderia a uma reta horizontal y=b. Para confirmar, calcule
b=\lim_{x\to-\infty}\bigl(e^{x}-0\cdot x\bigr)=\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0.
Isso dá a reta y=0, que já identificamos como assíntota horizontal. Como a inclinação m é 0, não se trata de uma assíntota oblíqua (que exige m\neq 0). Conclusão: não há assíntotas oblíquas.

Passo 6

Conclusão resumida e dica de prova: a única assíntota da função é a horizontal y=0 quando x\to -\infty. Não existem assíntotas verticais nem oblíquas.
Vai dar certo na prova — memorize: e^{x} decai para 0 à esquerda e explode à direita.

Resposta

Horizontal: y=0 (quando x\to -\infty).
Vertical: nenhuma.
Oblíqua: nenhuma.

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