Determine as assíntotas das funções abaixo, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as assíntotas da função
, caso existam.
Informações relevantes fornecidas ou imediatamente conhecíveis da própria função (sem começar a resolver):
Informações relevantes fornecidas ou imediatamente conhecíveis da própria função (sem começar a resolver):
- A função é
. - O domínio natural é
(todos os reais). - Para
real, (a função é sempre positiva). - A função é contínua e diferenciável em todo
.
Não vou ainda calcular limites nem decidir as assíntotas — isso começa no Passo 2.
Passo 2
O que são assíntotas (em linguagem simples e prática para prova):
- Assíntota vertical em
: normalmente ocorre se ou . Em prática: valores finitos de onde a função “explode” para infinito. - Assíntota horizontal: reta
é assíntota quando ou . - Assíntota oblíqua (reta
com ): existe se ao ir para a função se aproxima de uma reta com declive e intercepto . Métodos práticos: calcular
e, se esse limite for finito, calcular
Se
for finito e diferente de zero, e
existir finito, então
é assíntota oblíqua.
Passo 3
Verificação de assíntotas verticais para
.
Como
é contínua em todo
e para qualquer ponto
temos
que é um número finito, não pode haver comportamento do tipo
quando
. Portanto não existem pontos finitos
onde a função “explode”. Conclusão: não há assíntotas verticais.
(Dica curta: uma assíntota vertical só aparece em funções com descontinuidades do tipo infinito — como
. Aqui não ocorre.)
Passo 4
Verificação de assíntotas horizontais para
.
Calcular os limites nas extremidades:
Para
:
Logo a função não tende a um número finito quando
; portanto não há assíntota horizontal por
.
Para
:
Isto decorre da propriedade da exponencial: à medida que
tende a
,
decai para zero. Assim existe uma assíntota horizontal dada por
quando
.
Resumo: há uma assíntota horizontal
pela esquerda (
); nenhuma assíntota horizontal pela direita (
).
Passo 5
Verificação de assíntotas oblíquas para
.
Usamos as fórmulas práticas para o declive
.
Para
:
pois a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio; o quociente não tende a um número finito, então não existe
finito, e portanto não pode haver assíntota oblíqua com
finito.
Para
:
porque
e
; o quociente tende a
. Esse
corresponderia a uma reta horizontal
. Para confirmar, calcule
Isso dá a reta
, que já identificamos como assíntota horizontal. Como a inclinação
é
, não se trata de uma assíntota oblíqua (que exige
). Conclusão: não há assíntotas oblíquas.
Passo 6
Conclusão resumida e dica de prova: a única assíntota da função é a horizontal
quando
. Não existem assíntotas verticais nem oblíquas.
Vai dar certo na prova — memorize:
decai para
à esquerda e explode à direita.
Resposta
Horizontal:
(quando
).
Vertical: nenhuma.
Oblíqua: nenhuma.
Vertical: nenhuma.
Oblíqua: nenhuma.