Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
f(x)=x \ln x

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(x)=x\ln x
e pede:
  • explicitar o domínio;
  • localizar as raízes (zeros);
  • determinar intervalos de crescimento e decrescimento;
  • estudar a concavidade e destacar pontos de inflexão;
  • determinar assíntotas (se houver);
  • esboçar o gráfico (calculando todos os limites necessários).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a função está dada explicitamente por f(x)=x\ln x. Não há figura nem tabela.

Passo 2

Domínio — vamos entender onde a expressão faz sentido. A função envolve \ln x. A função logaritmo natural \ln x está definida apenas para x>0. Portanto o domínio de f é
(0,\infty).
Observação: x=0 e valores negativos não pertencem ao domínio porque \ln x não existe aí.

Passo 3

Raízes — queremos resolver f(x)=0, ou seja
x\ln x=0.
Como o domínio exige x>0, não podemos ter x=0. Logo devemos ter \ln x=0. A solução de \ln x=0 é x=1. Portanto a única raiz (zero) no domínio é
x=1,
ou seja o ponto (1,0) é o único zero da função.

Passo 4

Derivada e monotonicidade — primeiro derivamos para estudar crescimento/decrescimento. Vou recordar a regra: se u(x) e v(x) são funções, a derivada do produto é (uv)'=u'v+uv'. Aqui u(x)=x e v(x)=\ln x. Então u'(x)=1 e v'(x)=1/x. Aplicando a regra do produto,
f'(x)=1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x}=\ln x + 1.
Para encontrar pontos críticos resolvemos f'(x)=0:
\ln x + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ln x = -1 \quad\Longrightarrow\quad x=e^{-1}=\frac{1}{e}.
Agora o sinal de f'(x):
  • Se 0<x<\frac{1}{e} então \ln x < -1, logo f'(x)=\ln x+1<0: a função é decrescente nesse intervalo.
  • Se x>\frac{1}{e} então \ln x > -1, logo f'(x)>0: a função é crescente nesse intervalo.
Conclusão: f é decrescente em \left(0,\frac{1}{e}\right) e crescente em \left(\frac{1}{e},\infty\right). Em x=\frac{1}{e} temos um mínimo local. Calculamos o valor:
f\!\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\ln\!\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\cdot(-1)=-\frac{1}{e}.
Como f(x)\to 0^- quando x\to 0^+ e f(x)\to\infty quando x\to\infty, esse mínimo em x=\frac{1}{e} é, na verdade, o mínimo global em (0,\infty).

Passo 5

Segunda derivada, concavidade e pontos de inflexão — derivamos novamente. Da expressão f'(x)=\ln x + 1, a derivada é
f''(x)=\frac{d}{dx}(\ln x + 1)=\frac{1}{x}.
Para x>0 temos f''(x)=\dfrac{1}{x}>0. Lembrete didático: se f''(x)>0 em um intervalo então f é côncava para cima nesse intervalo; se f''(x)<0 seria côncava para baixo. Um ponto de inflexão é um ponto onde f'' muda de sinal. Aqui f''(x) é estritamente positiva em todo o domínio (0,\infty), então a função é côncava para cima em todo o domínio e NÃO existem pontos de inflexão em (0,\infty).

Passo 6

Limites importantes e comportamento nas fronteiras — precisamos dos limites para discutir assíntotas e esboço:
  1. Limite quando x\to 0^+. A forma é 0\cdot(-\infty). Um jeito simples de ver o limite é fazer x=e^{-t} com t\to\infty. Então
f(x)=x\ln x = e^{-t}\ln(e^{-t})=e^{-t}(-t)=-t e^{-t}\xrightarrow[t\to\infty]{}0.
Assim
\lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0.
Como \ln x<0 próximo de 0^+, o limite é 0 por valores negativos (tende a 0^-).
  1. Limite quando x\to\infty. Como \ln x\to\infty e cresce (mesmo que lentamente), e x\to\infty, o produto x\ln x vai para +\infty. Formalmente
\lim_{x\to\infty} x\ln x = +\infty.
  1. Para completar, limites da derivada: \lim_{x\to 0^+} f'(x)=\lim_{x\to 0^+}(\ln x+1)=-\infty e \lim_{x\to\infty} f'(x)=+\infty. Isso mostra inclinações muito negativas perto de 0 e crescimento com inclinação que cresce para infinito conforme x aumenta.

Passo 7

Assíntotas — vamos verificar os tipos padrões:
  • Assíntota vertical: ocorre em pontos do tipo x\to a com f(x)\to\pm\infty. Aqui em x\to 0^+ temos f(x)\to 0 (finito), e não existem outros pontos fora do domínio onde a função tende a infinito. Logo não há assíntotas verticais.
  • Assíntota horizontal: existe se \lim_{x\to\infty} f(x) é finito. Mas já vimos \lim_{x\to\infty} f(x)=+\infty, então não há assíntota horizontal para x\to\infty. Também \lim_{x\to 0^+} f(x)=0, mas como x=0 não pertence ao domínio, às vezes se fala que o gráfico tende à linha y=0 na esquerda; porém isso não é uma assíntota vertical e, para ser chamada “assíntota horizontal”, a linha teria que ser atingida no infinito (i.e., x\to\pm\infty). Então não há assíntota horizontal no sentido usual.
  • Assíntota oblíqua (reta inclinada y=ax+b): existe se \lim_{x\to\infty} \dfrac{f(x)}{x}=a for finito. Aqui
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\ln x = +\infty,
ou seja o “coeficiente angular” diverge, não existe a finito. Portanto não há assíntota oblíqua com coeficiente finito.
Conclusão: a função não possui assíntotas verticais, horizontais nem oblíquas (no sentido usual).

Passo 8

Esboço do gráfico — resumo das propriedades para montar o desenho (vou explicar como você deve imaginar/riscar na prova):
  • Domínio: x>0.
  • Comportamento em 0^+: \displaystyle f(x)\to 0^-. O gráfico aproxima o eixo x vindo de baixo conforme x tende a zero, com inclinação muito negativa.
  • Ponto crítico e mínimo: mínimo global em \displaystyle\left(\frac{1}{e},-\frac{1}{e}\right), com \frac{1}{e}\approx 0{,}3679 e -\frac{1}{e}\approx -0{,}3679.
  • Raiz: cruza o eixo x em (1,0).
  • Para x>\frac{1}{e} a função cresce e é côncava para cima em todo o domínio, então a curva sobe cada vez mais rápido (curvando pra cima) e vai para +\infty quando x\to\infty.
  • Sem assíntotas; comportamento “suave” exceto que o crescimento fica cada vez mais rápido.
Desenho mental: comece perto da origem em (0,0^-), desça (concavo para cima) até o ponto mínimo em \left(\tfrac{1}{e},-\tfrac{1}{e}\right), suba cruzando (1,0) e continue subindo curvando para cima à medida que x cresce.

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Raízes: x=1 (ou seja o ponto (1,0))
Intervalos de decrescimento e crescimento: decrescente em \left(0,\tfrac{1}{e}\right); crescente em \left(\tfrac{1}{e},\infty\right)
Ponto crítico e mínimo: mínimo global em \displaystyle\left(\tfrac{1}{e},-\tfrac{1}{e}\right) com valor f\!\left(\tfrac{1}{e}\right)=-\tfrac{1}{e}
Concavidade: f''(x)=\dfrac{1}{x}>0 para todo x>0, logo côncava para cima em (0,\infty)
Pontos de inflexão: nenhum em (0,\infty) (não há mudança de sinal de f'')
Assíntotas: não existem assíntotas verticais, horizontais nem oblíquas (no sentido usual)
Limites relevantes:
\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x=0^{-} e \displaystyle\lim_{x\to\infty} x\ln x=+\infty

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