Calcule os limites abaixo usando a regra de L’Hôpital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2-x) e^{x}-x-2}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0}\frac{(2-x)e^{x}-x-2}{x^{3}}
usando a regra de L’Hôpital. Como ao substituir x=0 obtemos uma forma \tfrac{0}{0}, vamos aplicar L’Hôpital repetidas vezes, diferenciando numerador e denominador até eliminar a indeterminação.

Passo 2

Defina
f(x) = (2-x)e^{x}-x-2, \qquad g(x) = x^{3}.
Verificando em x=0:
f(0) = (2-0)\cdot1 -0-2 = 0, \quad g(0) = 0^{3} = 0.
Como é \tfrac{0}{0}, aplica-se L’Hôpital:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[(2-x)e^{x}-x-2\bigr] = (1-x)e^{x}-1, \qquad g'(x) = 3x^{2}.
Em x=0:
f'(0) = (1-0)\cdot1 -1 = 0, \quad g'(0) = 0,
ainda \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Aplica-se L’Hôpital pela segunda vez, diferenciando f' e g':
f''(x) = \frac{d}{dx}\bigl[(1-x)e^{x}-1\bigr] = -x\,e^{x}, \qquad g''(x) = 6x.
Em x=0:
f''(0) = -0\cdot1 = 0, \quad g''(0) = 0,
ainda \tfrac{0}{0}.

Passo 4

Aplica-se L’Hôpital pela terceira vez:
f'''(x) = \frac{d}{dx}\bigl[-x\,e^{x}\bigr] = -(1+x)e^{x}, \qquad g'''(x) = 6.
Agora em x=0:
f'''(0) = -(1+0)\cdot1 = -1, \quad g'''(0) = 6,
já não há indeterminação.

Passo 5

Pelo teorema de L’Hôpital repetido, o limite original é
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{f'''(x)}{g'''(x)} = \frac{f'''(0)}{g'''(0)} = \frac{-1}{6} = -\tfrac{1}{6}.

Resposta

-\tfrac{1}{6}

Exercícios relacionados