Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de K podem ser consideradas funções densidade de probabilidade. Calcule E(X) e Var(X).

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos uma função
f(x)= K,x^2, & se 0<= x<= 2, 0, & caso contrário, á
e pede pra achar o valor de que faz dela uma densidade de probabilidade, além de calcular a esperança e a variância .
Isso é probabilidade contínua: a gente vai usar
  1. a condição de normalização ,
  2. a definição de esperança ,
  3. a definição de variância .

Passo 2

Primeiro, garantimos que a área total sob integral0^2 K,x^2,dx = 1 seja igual a 1 (condição de densidade). Como integral0^2 x^2,dx = [x^33]0^2 = 2^33 - 0 = 83 fora de K cdot 83 = 1 Longrightarrow K = 38 , basta integrar de 0 a 2:
Pra resolver a integral, usamos a regra :
Então

Passo 3

Agora que E(X) = integral0^2 x,f(x),dx = integral0^2 x;l(tfrac38x^2r),dx = 38integral0^2 x^3,dx , partimos pra esperança:
integral0^2 x^3,dx = 2^44 = 164 = 4
De novo, E(X) = 38times 4 = 128 = 32 = 1,5 , então
Logo

Passo 4

Falta calcular E(X^2) = integral0^2 x^2,f(x),dx = integral0^2 x^2;l(tfrac38x^2r),dx = 38integral0^2 x^4,dx , porque a variância é
.
Então
integral0^2 x^4,dx = 2^55 = 325,
Usando E(X^2) = 38times 325 = 9640 = 125 = 2,4 , obtemos
logo

Passo 5

Agora sim, a variância:

Resposta

K = ,
E(X) = ,
Var(X) = .

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