Dadas as funções abaixo, verificar para que valores de K podem ser consideradas funções densidade de probabilidade. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos uma função
e pede pra achar o valor de
que faz dela uma densidade de probabilidade, além de calcular a esperança
e a variância .
Isso é probabilidade contínua: a gente vai usar
Isso é probabilidade contínua: a gente vai usar
- a condição de normalização
, - a definição de esperança
, - a definição de variância .
Passo 2
Primeiro, garantimos que a área total sob
seja igual a 1 (condição de densidade). Como
fora de
, basta integrar de 0 a 2:
Pra resolver a integral, usamos a regra
:
Então
Passo 3
Agora que
, partimos pra esperança:
De novo,
, então
Logo
Passo 4
Falta calcular
, porque a variância é
.
Então
.
Então
Usando
, obtemos
logo
Passo 5
Agora sim, a variância:
Resposta
K =
,
E(X) = ,
Var(X) = .
E(X) =
Var(X) =