Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas no intervalo (0,a). Defina Z = min(X,Y), W = max(X,Y). Determine fZ,W(z,w).

Passo 1

Beleza! A questão diz: “X e Y são independentes e uniformes em (0,a). Definimos Z = min(X,Y) e W = max(X,Y). A gente precisa encontrar a densidade conjunta .”
Conteúdo: transformação de variáveis aleatórias e teoria de estatísticas de ordem (a ideia de mínimo e máximo). Vamos usar a definição de densidade conjunta e o Jacobiano da transformação , sabendo que tem dois “caminhos” de volta pra .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a transformação
Z = min(X,Y), W = max(X,Y)
O domínio natural é
0 < Z < W < a
Por que? Porque o menor valor tem que estar entre 0 e , e o maior também, mas sempre .
Agora, para cada par com , existem duas possibilidades de : ou ou .

Passo 3

A densidade conjunta original é
fX,Y(x,y) = 1a^2, 0
porque X e Y são independentes e cada uma uniforme em fZ,W(z,w) = sumpre-ima>=ns fX,Y(x,y),l|det Jr| = fX,Y(z,w);+;fX,Y(w,z) .
Na transformação, o Jacobiano de é 1 (é uma permutação simples das variáveis).
Então, pelo teorema da transformação,
Cada termo é , desde que .

Resposta

Logo,
fZ,W(z,w) = dfrac2a^2, & 0á

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