Suponha que e sejam variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas no intervalo . Defina . Determine .
Passo 1
Beleza! A questão diz: “X e Y são independentes e uniformes em (0,a). Definimos Z = min(X,Y) e W = max(X,Y). A gente precisa encontrar a densidade conjunta .”
Conteúdo: transformação de variáveis aleatórias e teoria de estatísticas de ordem (a ideia de mínimo e máximo). Vamos usar a definição de densidade conjunta e o Jacobiano da transformação , sabendo que tem dois “caminhos” de volta pra .
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a transformação
O domínio natural é
Por que? Porque o menor valor tem que estar entre 0 e , e o maior também, mas sempre .
Agora, para cada par com , existem duas possibilidades de : ou ou .
Passo 3
A densidade conjunta original é
porque X e Y são independentes e cada uma uniforme em .
Na transformação, o Jacobiano de é 1 (é uma permutação simples das variáveis).
Então, pelo teorema da transformação,