Num ensaio com gado de leite, estudou-se o efeito de um novo componente de ração na produção de leite. Para isso, foi tomada uma amostra aleatória de 10 vacas (de mesmo porte e homogêneas quanto ao peso, raça, ordem de parição, etc.), que foram alimentadas com uma ração básica durante um período de tempo após o qual foram obtidas as produções diárias de leite, em cada animal. Em seguida, adicionou-se a ração básica um “Novo componente H”, e as vacas foram alimentadas com essa mistura durante um determinado período, ao final do qual mediram-se novamente as produções diárias de leite, em cada animal. Os dados desse experimento constam na tabela a seguir:
Supondo-se que a variável aleatória D relativa a ganho de produção tenha distribuição aproximadamente normal com média \mu e variância \sigma^{2}, pede-se:
a) Obter as estimativas por ponto para \mu_{\bar{D}} e para \sigma_{\bar{D}}^{2}.
b) Fazer um teste de significancia para: \mu_{D}=0 com \alpha=0,01
Tabela - Produções diárias de leite de 10 vacas, após aplicação de uma ração básica e após aplicação de uma ração básica + um Novo Componente H
| VACA | Ração Básica ( \mathrm{X}_{1} ) | Ração Básica + H ( \mathrm{X}_{2} ) | Ganho de produção ( \mathrm{kg} / \mathrm{dia} ) $\mathrm{di}=\mathrm{X}{
{i} 2}-\mathrm{X}
{
{il}}( )\mathrm{d}_{
{i}}{ }^{2}$
1 9,0 10,5 1,5 2,25
2 9,5 9,5 0,0 0,00
3 10,00 9,5 -0,5 0,25
4 11,0 13,0 2,0 4,00
5 9,8 12,8 3,0 9,00
6 8,9 9,9 1,0 1,00
7 9,2 11,7 2,5 6,25
8 9,7 10,5 0,8 0,64
9 11,0 11,5 0,5 0,25
10 9,5 12,0 2,5 6,25
SOMA - - 13,3 29,89

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Obter estimativas por ponto para \mu_{\bar{D}} e para \sigma_{\bar{D}}^{2}.
  • (b) Fazer um teste de significância para a hipótese \mu_{D}=0 com nível de significância \alpha=0,01.
Dados relevantes fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
  • Número de vacas (tamanho da amostra): n=10.
  • Soma dos ganhos: \sum d_{i}=13{,}3.
  • Soma dos quadrados dos ganhos: \sum d_{i}^{2}=29{,}89.
  • Os valores individuais d_i não precisam ser reescritos aqui porque temos as somas necessárias.
Observação importante: o ganho D é a diferença par-a-par D=X_2-X_1 para cada vaca. Vamos trabalhar com a amostra de diferenças d_1,\dots,d_{10}.

Passo 2

Definir e interpretar as estimativas pontuais que vamos usar (aulas rápidas):
  • A estimativa por ponto natural para a média populacional das diferenças \mu_D é a média amostral das diferenças \bar{D}. Fórmula:
\bar{D}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} d_i.
Aqui cada símbolo significa: n é o número de observações (10), d_i é a diferença observada para a i-ésima vaca, e \bar{D} é a média dessas diferenças (estima \mu_D).
  • A estimativa por ponto para a variância amostral das diferenças s_D^{2} (estimador não viesado da variância populacional \sigma_D^2) é
s_{D}^{2}=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n} d_i^{2} - n\bar{D}^{2}\right).
Essa fórmula vem da definição de variância amostral: soma dos quadrados menos correção pela média, dividido por n-1.
  • A variância do estimador da média \bar{D} (ou seja \mathrm{Var}(\bar{D})) é estimada por
\widehat{\mathrm{Var}}(\bar{D})=\frac{s_{D}^{2}}{n}.
A raiz quadrada desta quantidade é o erro padrão de \bar{D}: \mathrm{SE}(\bar{D})=\sqrt{\widehat{\mathrm{Var}}(\bar{D})}.

Passo 3

Calcular a média amostral \bar{D} passo a passo:
\bar{D}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} d_i=\frac{13{,}3}{10}=1{,}33\\ \text{(kg/dia)}.
Explicação: somei todas as diferenças (valor dado na tabela) e dividi por 10.

Passo 4

Calcular a variância amostral s_{D}^{2} detalhadamente:
  • Primeiro calcule n\bar{D}^{2}:
n\bar{D}^{2}=10\cdot(1{,}33)^{2}=10\cdot 1{,}7689=17{,}689.
  • Em seguida use a fórmula:
s_{D}^{2}=\frac{1}{n-1}\left(\sum d_i^{2}-n\bar{D}^{2}\right)=\frac{1}{9}\left(29{,}89-17{,}689\right).
  • Compute a diferença:
29{,}89-17{,}689=12{,}201.
  • Dividindo por 9:
s_{D}^{2}=\frac{12{,}201}{9}=1{,}355666\ldots\approx 1{,}3557\\ \text{(kg}^2\text{/dia}^2).
Comentário didático: dividimos por n-1 para obter uma estimativa não viesada da variância populacional das diferenças.

Passo 5

Calcular a variância estimada de \bar{D} e o erro padrão:
\widehat{\mathrm{Var}}(\bar{D})=\frac{s_{D}^{2}}{n}=\frac{1{,}355666\ldots}{10}=0{,}1355666\ldots\approx 0{,}1356.
O erro padrão é
\mathrm{SE}(\bar{D})=\sqrt{0{,}1355666\ldots}\approx 0{,}3683\\ \text{(kg/dia)}.
Interpretação: a variação esperada da média amostral \bar{D} é cerca de 0{,}1356, e normalmente a média amostral varia com desvio padrão 0{,}3683.

Passo 6

Escolha do teste e formulação das hipóteses (explicando por que usar este teste):
  • Temos pares dependentes (mesmas vacas antes e depois), então usamos o teste t pareado, que é equivalente a testar a média das diferenças.
  • Hipóteses (vou usar teste bilateral porque o enunciado só fornece \mu_D=0; sem indicação explícita de direção, o procedimento padrão é bilateral):
H_0:\\ \mu_D=0\qquad\text{vs}\qquad H_1:\\ \mu_D\neq 0.
  • Estatística de teste (t-pareado):
t=\frac{\bar{D}-\mu_{D,0}}{s_D/\sqrt{n}},
onde \mu_{D,0} é o valor sob H_0 (aqui 0), s_D é o desvio padrão amostral das diferenças e n o tamanho da amostra.

Passo 7

Calcular a estatística t numericamente:
  • Primeiro calcule s_D=\sqrt{s_D^{2}}=\sqrt{1{,}355666\ldots}\approx 1{,}1645.
  • O erro padrão já calculado foi \mathrm{SE}(\bar{D})\approx 0{,}3683.
  • Então
t=\frac{1{,}33}-0}{0{,}3683}\approx \frac{1{,}33}{0{,}3683}\approx 3{,}612.
Graus de liberdade: df=n-1=9.

Passo 8

Comparação com o valor crítico e decisão (explicando como obter o crítico):
  • Para um teste bilateral com \alpha=0{,}01 e df=9, o valor crítico de duas caudas é t_{0{,}005,\,9}. Consultando uma tabela t de Student ou calculadora, temos
t_{0{,}005,\,9}\approx 3{,}250.
  • Como |t|=3{,}612>3{,}250, rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0{,}01.
Interpretação prática: há evidência estatística, a 1% de significância, de que a média do ganho de produção é diferente de zero. Como \bar{D}=1{,}33>0, a evidência indica aumento médio da produção após o componente H.

Passo 9

Cálculo aproximado do p-valor (para reforçar a decisão):
  • Para t=3{,}612 com df=9, o p-valor bilateral é aproximadamente
\text{p-valor}\approx 0{,}006\\ (\text{aprox.}),
que é menor que \alpha=0{,}01, confirmando a rejeição de H_0.

Resposta

(a) \hat{\mu}_{\bar{D}}=\bar{D}=1{,}33 kg/dia; \widehat{\sigma_{\bar{D}}^{2}}=\dfrac{s_{D}^{2}}{n}=0{,}1356.
(b) Estatística t\approx 3{,}612 com df=9; t_{0{,}005,9}\approx 3{,}250; rejeita-se H_{0} ao nível \alpha=0{,}01. p-valor \approx 0{,}006.

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