Num ensaio com gado de leite, estudou-se o efeito de um novo componente de ração na produção de leite. Para isso, foi tomada uma amostra aleatória de 10 vacas (de mesmo porte e homogêneas quanto ao peso, raça, ordem de parição, etc.), que foram alimentadas com uma ração básica durante um período de tempo após o qual foram obtidas as produções diárias de leite, em cada animal. Em seguida, adicionou-se a ração básica um “Novo componente H”, e as vacas foram alimentadas com essa mistura durante um determinado período, ao final do qual mediram-se novamente as produções diárias de leite, em cada animal. Os dados desse experimento constam na tabela a seguir:
Supondo-se que a variável aleatória D relativa a ganho de produção tenha distribuição aproximadamente normal com média
e variância
, pede-se:
a) Obter as estimativas por ponto para
e para
.
b) Fazer um teste de significancia para:
com
Tabela - Produções diárias de leite de 10 vacas, após aplicação de uma ração básica e após aplicação de uma ração básica + um Novo Componente H
| VACA | Ração Básica (
) | Ração Básica + H (
) | Ganho de produção (
) $\mathrm{di}=\mathrm{X}{
{i} 2}-\mathrm{X}{
a) Obter as estimativas por ponto para
b) Fazer um teste de significancia para:
Tabela - Produções diárias de leite de 10 vacas, após aplicação de uma ração básica e após aplicação de uma ração básica + um Novo Componente H
{i} 2}-\mathrm{X}{
| {il}}( | )\mathrm{d}_{ | |||
|---|---|---|---|---|
| {i}}{ }^{2}$ | ||||
| 1 | 9,0 | 10,5 | 1,5 | 2,25 |
| 2 | 9,5 | 9,5 | 0,0 | 0,00 |
| 3 | 10,00 | 9,5 | -0,5 | 0,25 |
| 4 | 11,0 | 13,0 | 2,0 | 4,00 |
| 5 | 9,8 | 12,8 | 3,0 | 9,00 |
| 6 | 8,9 | 9,9 | 1,0 | 1,00 |
| 7 | 9,2 | 11,7 | 2,5 | 6,25 |
| 8 | 9,7 | 10,5 | 0,8 | 0,64 |
| 9 | 11,0 | 11,5 | 0,5 | 0,25 |
| 10 | 9,5 | 12,0 | 2,5 | 6,25 |
| SOMA | - | - | 13,3 | 29,89 |
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Obter estimativas por ponto para
e para . - (b) Fazer um teste de significância para a hipótese
com nível de significância .
Dados relevantes fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
- Número de vacas (tamanho da amostra):
. - Soma dos ganhos:
. - Soma dos quadrados dos ganhos:
. - Os valores individuais
não precisam ser reescritos aqui porque temos as somas necessárias.
Observação importante: o ganho
é a diferença par-a-par
para cada vaca. Vamos trabalhar com a amostra de diferenças
.
Passo 2
Definir e interpretar as estimativas pontuais que vamos usar (aulas rápidas):
- A estimativa por ponto natural para a média populacional das diferenças
é a média amostral das diferenças . Fórmula:
Aqui cada símbolo significa:
é o número de observações (10),
é a diferença observada para a i-ésima vaca, e
é a média dessas diferenças (estima
).
- A estimativa por ponto para a variância amostral das diferenças
(estimador não viesado da variância populacional ) é
Essa fórmula vem da definição de variância amostral: soma dos quadrados menos correção pela média, dividido por
.
- A variância do estimador da média
(ou seja ) é estimada por
A raiz quadrada desta quantidade é o erro padrão de
:
.
Passo 3
Calcular a média amostral
passo a passo:
Explicação: somei todas as diferenças (valor dado na tabela) e dividi por 10.
Passo 4
Calcular a variância amostral
detalhadamente:
- Primeiro calcule
:
- Em seguida use a fórmula:
- Compute a diferença:
- Dividindo por
:
Comentário didático: dividimos por
para obter uma estimativa não viesada da variância populacional das diferenças.
Passo 5
Calcular a variância estimada de
e o erro padrão:
O erro padrão é
Interpretação: a variação esperada da média amostral
é cerca de
, e normalmente a média amostral varia com desvio padrão
.
Passo 6
Escolha do teste e formulação das hipóteses (explicando por que usar este teste):
- Temos pares dependentes (mesmas vacas antes e depois), então usamos o teste t pareado, que é equivalente a testar a média das diferenças.
- Hipóteses (vou usar teste bilateral porque o enunciado só fornece
; sem indicação explícita de direção, o procedimento padrão é bilateral):
- Estatística de teste (t-pareado):
onde
é o valor sob
(aqui
),
é o desvio padrão amostral das diferenças e
o tamanho da amostra.
Passo 7
Calcular a estatística
numericamente:
- Primeiro calcule
. - O erro padrão já calculado foi
. - Então
Graus de liberdade:
.
Passo 8
Comparação com o valor crítico e decisão (explicando como obter o crítico):
- Para um teste bilateral com
e , o valor crítico de duas caudas é . Consultando uma tabela t de Student ou calculadora, temos
- Como
, rejeitamos ao nível .
Interpretação prática: há evidência estatística, a 1% de significância, de que a média do ganho de produção é diferente de zero. Como
, a evidência indica aumento médio da produção após o componente H.
Passo 9
Cálculo aproximado do p-valor (para reforçar a decisão):
- Para
com , o p-valor bilateral é aproximadamente
que é menor que
, confirmando a rejeição de
.
Resposta
(a)
kg/dia;
(b) Estatística
com
;
; rejeita-se
ao nível
. p-valor
.