Dadas as funções complexas abaixo, identifique-as como funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} conforme os exemplos resolvidos. No que se segue, z=x+i y \in \mathbb{Z}, onde os reais x e y são respectivamente a parte real e imaginária de z.
\exp (i \sin z)

Passo 1

O enunciado define a função complexa
f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C},\quad f(z)=\exp\bigl(i\sin z\bigr),
e pede para reescrevê-la como
f(x,y)=(u(x,y),v(x,y)),
onde z=x+iy. Para isso precisamos usar as fórmulas \sin(x+iy)=\sin x\operatorname{cosh} y + i\cos x\operatorname{sinh} y
e \exp(a+ib)=e^{a}(\cos b + i\sin b).

Passo 2

Primeiro calculamos
\sin z = \sin x\operatorname{cosh} y + i\cos x\operatorname{sinh} y.
Multiplicando por i,
i\,\sin z = i\bigl(\sin x\operatorname{cosh} y\bigr) + i^2\bigl(\cos x\operatorname{sinh} y\bigr) = -\cos x\operatorname{sinh} y + i\,\sin x\operatorname{cosh} y.
Agora aplicamos a exponencial a i\sin z = A + iB com
A = -\cos x\operatorname{sinh} y, \quad B = \sin x\operatorname{cosh} y.
Logo
\exp\bigl(i\sin z\bigr) = e^{A}\bigl(\cos B + i\sin B\bigr) = e^{-\cos x\operatorname{sinh} y}\Bigl[\cos\bigl(\sin x\operatorname{cosh} y\bigr) + i\,\sin\bigl(\sin x\operatorname{cosh} y\bigr)\Bigr].

Resposta

u(x,y)=e^{-\cos x\operatorname{sinh} y}\,\cos\bigl(\sin x\operatorname{cosh} y\bigr), \qquad v(x,y)=e^{-\cos x\operatorname{sinh} y}\,\sin\bigl(\sin x\operatorname{cosh} y\bigr).

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