Dadas as funções complexas abaixo, identifique-as como funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} conforme os exemplos resolvidos. No que se segue, z=x+i y \in \mathbb{Z}, onde os reais x e y são respectivamente a parte real e imaginária de z.
\tan z:=\frac{\sin z}{\cos z}

Passo 1

O enunciado pede para ver a função
\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}
como uma aplicação de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2, isto é, escrever
f(x,y) = (\Re(\tan z),\,\Im(\tan z))
onde z = x + i y.

Passo 2

Usamos as fórmulas conhecidas para seno e cosseno de um número complexo:
\sin(x + i y) = \sin x\,\operatorname{cosh} y + i\,\cos x\,\operatorname{sinh} y,
\cos(x + i y) = \cos x\,\operatorname{cosh} y - i\,\sin x\,\operatorname{sinh} y.

Passo 3

Denotando
N = \sin z = \sin x\,\operatorname{cosh} y + i\,\cos x\,\operatorname{sinh} y,
D = \cos z = \cos x\,\operatorname{cosh} y - i\,\sin x\,\operatorname{sinh} y,
temos
\tan z = \frac{N}{D}.

Passo 4

Para dividir N por D, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de D:
\tan z = \frac{(\sin x\,\operatorname{cosh} y + i\,\cos x\,\operatorname{sinh} y)\bigl(\cos x\,\operatorname{cosh} y + i\,\sin x\,\operatorname{sinh} y\bigr)} {(\cos x\,\operatorname{cosh} y)^2 + (\sin x\,\operatorname{sinh} y)^2}.
No denominador aparece
(\cos x\,\operatorname{cosh} y)^2 + (\sin x\,\operatorname{sinh} y)^2 = \tfrac12\bigl[\operatorname{cosh}(2y)+\cos(2x)\bigr].

Passo 5

Ao expandir o numerador e separar parte real e imaginária, obtemos
\Re(\tan z) = \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)+\operatorname{cosh}(2y)}, \quad \Im(\tan z) = \frac{\operatorname{sinh}(2y)}{\cos(2x)+\operatorname{cosh}(2y)}.

Resposta

A aplicação f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é
f(x,y) = \Bigl( \frac{\sin(2x)}{\cos(2x)+\operatorname{cosh}(2y)},\; \frac{\operatorname{sinh}(2y)}{\cos(2x)+\operatorname{cosh}(2y)} \Bigr).

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