Dadas as funções complexas abaixo, identifique-as como funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} conforme os exemplos resolvidos. No que se segue, z=x+i y \in \mathbb{Z}, onde os reais x e y são respectivamente a parte real e imaginária de z.
\operatorname{tanh} z:=\frac{\operatorname{sinh} z}{\operatorname{cosh} z}

Passo 1

O enunciado pede para ver
\operatorname{tanh} z \;=\;\frac{\operatorname{sinh} z}{\operatorname{cosh} z},\quad z=x+iy,
como uma função de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2. Vamos, portanto, escrever
\operatorname{tanh}(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y),
isto é, encontrar as partes reais u(x,y) e imaginárias v(x,y).

Passo 2

Usamos as fórmulas de desdobramento de seno e cosseno hiperbólicos em argumento complexo:
\operatorname{sinh}(x+iy)=\operatorname{sinh} x\cos y + i\,\operatorname{cosh} x\sin y,
\operatorname{cosh}(x+iy)=\operatorname{cosh} x\cos y + i\,\operatorname{sinh} x\sin y.
Logo
\operatorname{tanh}(x+iy) =\frac{\operatorname{sinh} x\cos y + i\,\operatorname{cosh} x\sin y}{\operatorname{cosh} x\cos y + i\,\operatorname{sinh} x\sin y}.

Passo 3

Para separar em parte real e imaginária, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
\frac{A+iB}{C+iD}\;\cdot\;\frac{C-iD}{C-iD} =\frac{(A\,C+B\,D)+i(B\,C-A\,D)}{C^2+D^2}.
Aqui
A=\operatorname{sinh} x\cos y,\quad B=\operatorname{cosh} x\sin y,\quad C=\operatorname{cosh} x\cos y,\quad D=\operatorname{sinh} x\sin y.

Passo 4

Calculando: C^2+D^2=\operatorname{cosh}^2x\cos^2y+\operatorname{sinh}^2x\sin^2y=\tfrac12(\cosh2x+\cos2y),
A\,C+B\,D=\operatorname{sinh} x\operatorname{cosh} x(\cos^2y+\sin^2y)=\tfrac12\sinh2x,
B\,C-A\,D=(\operatorname{cosh}^2x-\operatorname{sinh}^2x)\sin y\cos y=\tfrac12\sin2y.
Portanto
u(x,y)=\frac{\sinh2x}{\cosh2x+\cos2y}, \qquad v(x,y)=\frac{\sin2y}{\cosh2x+\cos2y}.

Resposta

\operatorname{tanh}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2, \quad (x,y)\longmapsto \Bigl( \frac{\sinh2x}{\cosh2x+\cos2y}\;,\; \frac{\sin2y}{\cosh2x+\cos2y} \Bigr).

Exercícios relacionados