Dadas as funções f(x) e g(x), defina as funções f+g, f-g, f g, f / g e g / f e determine o domínio da função resultante:
f(x)=raizx ; g(x)=x^2+1

Passo 1

Na questão, temos as funções f(x)=raizx e g(x)=x^2+1. O conteúdo estudado é operações aritméticas entre funções (soma, subtração, produto e quocientes) e determinação de domínio. Vamos usar que e , lembrando que em quocientes precisamos excluir valores que zerem o denominador.

Passo 2

Para a soma de funções, aplicamos a definição (f+g)(x)=f(x)+g(x). Assim: (f+g)(x)=raizx+x^2+1. O domínio de f+g é a interseção dos domínios de f e g, ou seja, [0,infty)capR=[0,infty).

Passo 3

Para a subtração, usamos (f-g)(x)=f(x)-g(x). Logo: (f-g)(x)=raizx-(x^2+1)=raizx-x^2-1. O domínio é também [0,infty), por ser a interseção [0,infty)capR.

Passo 4

Para o produto, vale (fcdot g)(x)=f(x)cdot g(x). Então: (fcdot g)(x)=raizx,(x^2+1). O domínio permanece [0,infty), pois ambos os fatores estão definidos para x>=0.

Passo 5

No quociente f/g, usamos (f/g)(x)=f(x)g(x). Fica (f/g)(x)=raizxx^2+1. O domínio é excluindo zeros de dom(f)capdom(g). Como g para todo x^2+1>0, o domínio é x.

Passo 6

No quociente g/f, definimos (g/f)(x)=g(x)f(x). Logo (g/f)(x)=x^2+1raizx. Aqui o denominador raizx exige x>0. Portanto o domínio é (0,infty).

Resposta

(f+g)(x)=\sqrt{x}+x^2+1, dom=[0,\infty)
(f-g)(x)=\sqrt{x}-x^2-1, dom=[0,\infty)
(f\cdot g)(x)=\sqrt{x}(x^2+1), dom=[0,\infty)
(f/g)(x)=\frac{\sqrt{x}}{x^2+1}, dom=[0,\infty)
(g/f)(x)=\frac{x^2+1}{\sqrt{x}}, dom=(0,\infty)

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