(4,0) Esboce e descreva as curvas de nível z=k para os valores especificados de k :
z=x^2+1, k=-2,-1,0,1,2

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos esboçar e descrever as curvas de nível $ z = k $ para a função $ z = x^{2} + 1 $ com os valores de $ k = -2, -1, 0, 1, 2 $. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções quadráticas e análise de soluções reais.

Passo 2

Primeiro, entendemos que uma curva de nível $ z = k $ representa todos os pontos z = k onde a função atinge o valor $ k $. Então, substituímos $ z $ por $ k $ na equação da função:
(x, z)

Passo 3

Agora, vamos isolar $ x^{2} $ para encontrar os valores de $ x $:
x^2

Passo 4

Para resolver $ x^{2} = k - 1 $, precisamos que o lado direito da equação seja maior ou igual a zero, pois o quadrado de um número real não pode ser negativo. Portanto:
x^2 = k - 1

Passo 5

Isso significa que só teremos soluções reais para $ x $ quando $ k $ for maior ou igual a 1. Vamos analisar cada valor de $ k $:
  • Para $ k = -2 $:
    x
    Não há solução real, então não existe curva de nível.
  • Para $ k = -1 $:
    k
    Também não há solução real, sem curva de nível.
  • Para $ k = 0 $:
    k
    Sem solução real, nenhuma curva de nível.
  • Para $ k = 1 $:
    k = -2
    A curva de nível é o ponto $ (0, 1) $.
  • Para $ k = 2 $:
    x^2 = -2 - 1 = -3
    As curvas de nível são os pontos $ (1, 2) $ e $ (-1, 2) $.

Resposta

As curvas de nível $ z = k $ para a função $ z = x^{2} + 1 $ são:
  • $ k = -2, -1, 0 $: Não existem curvas de nível, pois não há soluções reais.
  • $ k = 1 $: A curva de nível é o ponto $ (0, 1) $.
  • $ k = 2 $: As curvas de nível são os pontos $ (1, 2) $ e $ (-1, 2) $.

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