(4,0) Esboce e descreva as curvas de nível
para os valores especificados de
:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos esboçar e descrever as curvas de nível $ z = k $ para a função $ z = x^{2} + 1 $ com os valores de $ k = -2, -1, 0, 1, 2 $. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções quadráticas e análise de soluções reais.
Passo 2
Primeiro, entendemos que uma curva de nível $ z = k $ representa todos os pontos
onde a função atinge o valor $ k $. Então, substituímos $ z $ por $ k $ na equação da função:
Passo 3
Agora, vamos isolar $ x^{2} $ para encontrar os valores de $ x $:
Passo 4
Para resolver $ x^{2} = k - 1 $, precisamos que o lado direito da equação seja maior ou igual a zero, pois o quadrado de um número real não pode ser negativo. Portanto:
Passo 5
Isso significa que só teremos soluções reais para $ x $ quando $ k $ for maior ou igual a 1. Vamos analisar cada valor de $ k $:
-
Para $ k = -2 $:Não há solução real, então não existe curva de nível.
-
Para $ k = -1 $:Também não há solução real, sem curva de nível.
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Para $ k = 0 $:Sem solução real, nenhuma curva de nível.
-
Para $ k = 1 $:A curva de nível é o ponto $ (0, 1) $.
-
Para $ k = 2 $:As curvas de nível são os pontos $ (1, 2) $ e $ (-1, 2) $.
Resposta
As curvas de nível $ z = k $ para a função $ z = x^{2} + 1 $ são:
- $ k = -2, -1, 0 $: Não existem curvas de nível, pois não há soluções reais.
- $ k = 1 $: A curva de nível é o ponto $ (0, 1) $.
- $ k = 2 $: As curvas de nível são os pontos $ (1, 2) $ e $ (-1, 2) $.