Dadas as funções f(x) e g(x), defina as funções f+g, f-g, f g, f / g e g / f e determine o domínio da função resultante:
f(x)=x-5 ; g(x)=x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para definir as operações soma, subtração, produto e quocientes entre as funções dadas e determinar o domínio de cada uma. O conteúdo é operações algébricas com funções e análise de domínio.

Passo 2

Para a soma temos
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=(x-5)+(x^2-1)=x^2+x-6
Como tanto f quanto g estão definidas em R, o domínio de f+g é R.

Passo 3

Para a subtração temos
(f-g)(x)=f(x)-g(x)=(x-5)-(x^2-1)=-x^2+x-4
De novo, ambas definidas em R, então o domínio de f-g é R.

Passo 4

Para o produto:
(fcdot g)(x)=(x-5)(x^2-1)=x^3-5x^2-x+5
Como não há divisão, o domínio de fcdot g continua sendo R.

Passo 5

Para o quociente f/g:
f(x)g(x)=x-5x^2-1
Aqui precisamos que o denominador g(x)=x^2-1 seja diferente de zero, ou seja x^2-1neq0 e então xneqpm1. Logo o domínio é Rsetminus,-1,1.

Passo 6

Para o quociente g/f:
g(x)f(x)=x^2-1x-5
Agora exigimos f(x)=x-5neq0, isto é xneq5. Então o domínio de g/f é Rsetminus5.

Resposta

(f+g)(x)=x^2+x-6, Dom= R; (f-g)(x)=-x^2+x-4, Dom= R; (f\cdot g)(x)=x3-5x2-x+5, Dom= R; (f/g)(x)=\frac{x-5}{x^2-1}, Dom= Rsetminus-1,1; (g/f)(x)=\frac{x^2-1}{x-5}, Dom= Rsetminus5.

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